二進制基礎

一．計算機中為什么要用二進制

1．計算機中一個數是用電子器件的“開”和“關”來表示的，即二進制的“1”和“0”。

2．二進制運算法則簡單。如加法：0+0=0，0+1=1+0=1，1+1=10 （3個公式）而十進制加法法則需記55個公式。

3.二進制是計算機中采用的基本數制；而八進制和十六進制用作二進制的壓縮形式；十進制是理解其他數制的基礎。

  如：串行通訊接口COM1口的輸入輸出端口地址用 03F8-03FF（十六進制數）表示 。

二．四種進位計數制的基數、位權和權值

   進位計數制是一種數的表示方法，它按進位的方式來計數，簡稱為進位制。

1． 十進制的基數是10，10個數字符號，0、1、2、3、4、5、6、7、8、9

     進位規則：逢10進1

         例：（518）₁₀ =5*10²+1*10¹+8*10⁰

                        10²     10¹     10⁰      是十進制的位權

                       100   10    0    權值

  2．二進制的基數是2，  2個數字符號, 0、1

     進位規則：逢2進1

         例：（1101）₂ =1*2³+1*2²+0*2¹+1*2⁰ =（13）₁₀

                                         2³     2²     2¹     2⁰   是二進制的位權

                   　　　　　  8   4   2   1   權值

 

  3．十六進制基數是16，16個數字符號, 0、1、2、3、4、5、6、

                                  7、8、9、A、B、C、D、E、F

     進位規則：逢16進1

         例：（2AF）₁₆ =2*16²+A*16¹+F*16⁰ =（687）₁₀

                                  16²    16¹     16⁰       是十六進制的位權

                                           256   16      1     權值

4、八進制基數是8，8個數字符號，0、1、2、3、4、5、6、7

    進位規格：逢8進1

       例：（112）₈ =1*8²+1*8¹+2*8⁰ =（74）₁₀

                     8²    8¹     8⁰       是八進制的位權

                                         64  8      2     權值

 

     四種進制的縮寫：

     十進制：518D、 二進制：1101B、十六進制：2AFH 八進制：以0開頭

 

  二進制數與其他數制的對應關系

二進制	十進制	十六進制	八進制	二進制	十進制	十六進制	八進制
0	0	0	0	1001	9	9	11
1	1	1	1	1010	10	A	12
10	2	2	2	1011	11	B	13
11	3	3	3	1100	12	C	14
100	4	4	4	1101	13	D	15
101	5	5	5	1110	14	E	16
110	6	6	6	1111	15	F	17
111	7	7	7	10000	16	10	20
1000	8	8	10	1001	/	/	/

  

 

三．二進制數的算術運算

1． 二進制數的算術運算

（1）． 二進制數的加法

   法則：0+0 =0

         0+1 = 1+0 = 1

         1+1 = 10 （進位）

   例：（1011）₂ +（1110）₂ = （11001）₂

     1011

  + 1110 

   11001

 

（2）．二進制數的減法

   法則： 0—0 = 0

1—0 = 1

0—1 = 1（有借位）

          1—1 = 0

   例：（1101）₂ —（0110）₂ =（0111）₂

 

（3）．二進制數的乘法

法則：0*0=0

      0*1=1*0=0

      1*1=1

例：（1100）₂*（1010）₂  =（1111000）₂

  

（4）．二進制數的除法

法則：0 / 0 = 0

      1 / 1 = 1

例：（1111000）₂  /（1010）₂  = （1100）₂

 

2． 二進制數的邏輯運算

 

    邏輯變量之間的運算稱為邏輯運算。可以表示為“真”與“假”、“是”與“否”、“有”與“無”。

（1）“或”運算（邏輯加法），符號“V”或“+”

0 V 0 = 0

0 V 1 = 1 V 0 = 1

1 V 1 = 1  

    兩個變量只要有一個為1,其邏輯加的結果就為1；兩者都為1，則邏輯加當然為1。

或邏輯關系相當於“電燈”的並聯關系。

 

（2）“與”運算（邏輯乘法），符號“∧”或“Х”“· ”

  0 ∧ 0 =  0

  0 ∧ 1 = 1 ∧ 0 = 0

  1 ∧ 1 = 1

只有參與運算的邏輯變量都同時為1時，邏輯乘積才等於1。
   與邏輯關系相當於“用電器”的串聯關系。

        

（3）“非”運算（邏輯否定）

  非0等於1      

  非1等於0

（4）異或邏輯關系  符號“⊕”

  0⊕0 = 0

  0⊕1 = 1

  1⊕0 = 1

  1⊕1 = 0

只要兩個邏輯變量相同，則“異或”運算的結果就位 0 ；當兩個邏輯變量不同時，則“異或”的結果才為1。

因此，以上邏輯運算沒有算術運算中的進位或借位問題。

邏輯運算在計算機內部的電路設計、軟件以及數據處理過程中經常使用。 

 

四． 不同進制之間的數據轉換

                   

1. 十進制數與二進制數之間的轉換

 （1）． 2        1 0

 

   將二進制數轉換成十進制數：按位權展開求和。

   整數：（11001100）₂ =（204）₁₀

小數：（1000001.01）₂ =(65.25) ₁₀

 

 （2）．  10        2   

   整數：“除二取余”“下高上底”

 例：（238）₁₀=（11101110）₂

         簡便算法：將十進制數分解成若干個2的整次冪之和，

        例：（238）₁₀ =128+64+32+8+4+2=2⁷+2⁶+2⁵+2³+2²+2¹

             =（11101110）₂

   小數“乘二取整” “上高下底”

        例：（0.75）₁₀ =(0.11)₂ 

 

3． 二進制數與十六進制數之間的轉換

 

因為2⁴ = 16¹，2⁸ = 16²，即4位二進制數可表示一位十六進制數。

  （1） 2       16

    每4位分1組，不足4位前補0

   例：（10111010011010）₂ =（2E9A）₁₆

 

  （2）  16        2

   例：（2E9A）₁₆ =（10111010011010）₂

 

3．十進制數與十六進制數之間的轉換

  （1） 10       16

       “除十六取余” “下高上底”

  或：10      2      16

      （228）₁₀=（11100100）₂ =（E4）₁₆

 

  （2）16      10      按權展開

      （568）₁₆ =5*16²+6*16¹+8*16⁰ =5*256+6*16+8*1 =（1384）₁₀

    或：16     2      10

4、八進制化為十進制：

例：將八進制數12轉換成十進制數

（12）₈ =1*8¹+2*8⁰ =（10）₁₀

5、八進制化為二進制：

規則：按照順序，每1位八進制數改寫成等值的3位二進制數，次序不變。

例： （17.36）₈ = （001 111 .011 110）₂ = （1111.01111）₂

6、八進制化為十六進制

先將八進制化為二進制，再將二進制化為十六進制。

例：（712）₈ = （1110 0101 0）₂ = （1CA）₁₆

轉換為八進制

7、二進制化為八進制：

整數部份從最低有效位開始，以3位一組，最高有效位不足3位時以0補齊，每一組均可轉換成一個八進制的值，轉換完畢就是八進制的整數。

小數部份從最高有效位開始，以3位一組，最低有效位不足3位時以0補齊，每一組均可轉換成一個八進制的值，轉換完畢就是八進制的小數。

例：（11001111.01111）2 = （011 001 111.011 110）2 = （317.36）8

8、十六進制化為八進制：

先用1化4方法，將十六進制化為二進制；再用3並1方法，將二進制化為8進制。

例： （1CA）16 = （111001010）2 = （712）8

說明：小數點前的高位零和小數點后的低位零可以去除。

9、十進制化八進制

方法1：采用除8取余法。

例：將十進制數115轉化為八進制數

8| 115…… 3

8| 14 …… 6

8| 1 …… 1

結果：（115）₁₀ = （163）₈

方法2：先采用十進制化二進制的方法，再將二進制數化為八進制數

例：（115）10 = （1110011）2 = （163）8

 五、二進制的位運算（java）

　　位運算是java中很重要的基礎知識，涉及到數據的讀寫、IO流、數據處理等多方面的知識，熟練掌握位運算對於我們學習IO相關知識有很大的好處。

　

含義	Pascal語言	C語言	Java
按位與	a and b	a & b	a & b
按位或	a or b	a | b	a | b
按位異或	a xor b	a ^ b	a ^ b
按位取反	not a	~a	~a
左移	a shl b	a << b	a << b
帶符號右移	a shr b	a >> b	a >> b
無符號右移			a>>> b

(1)、運算說明

=== 1. and運算 & ===

　　and運算通常用於二進制的取位操作，例如一個數 and 1的結果就是取二進制的最末位。這可以用來判斷一個整數的奇偶，二進制的最末位為0表示該數為偶數，最末位為1表示該數為奇數。

　　相同位的兩個數字都為1，則為1；若有一個不為1，則為0。

00101

11100

（&；或者and）

----------------

00100

=== 2. or運算 | ===

　　or運算通常用於二進制特定位上的無條件賦值，例如一個數or 1的結果就是把二進制最末位強行變成1。如果需要把二進制最末位變成0，對這個數or 1之后再減一就可以了，其實際意義就是把這個數強行變成最接近的偶數。

　　相同位只要一個為1即為1。

00101

11100

（|或者or）

----------------

11101

=== 3. xor運算 ^ ===

　　異或的符號是^。按位異或運算, 對等長二進制模式按位或二進制數的每一位執行邏輯按位異或操作. 操作的結果是如果某位不同則該位為1, 否則該位為0.

　　xor運算的逆運算是它本身，也就是說兩次異或同一個數最后結果不變，即（a xor b) xor b = a。xor運算可以用於簡單的加密，比如我想對我MM說1314520，但怕別人知道，於是雙方約定拿我的生日19880516作為密鑰。1314520 xor 19880516 = 20665500，我就把20665500告訴MM。MM再次計算20665500 xor 19880516的值，得到1314520，於是她就明白了我的企圖。

　　相同位不同則為1，相同則為0。

00101

11100

（^或者xor）

----------------

11001

運算結果

x <- x # y

y <- x @ y

x <- x @ y

　　執行了第一句后x變成了x # y。那么第二句實質就是y <- x # y @ y，由於#和@互為逆運算，那么此時的y變成了原來的x。第三句中x實際上被賦值為（x # y) @ x，如果#運算具有交換律，那么賦值后x就變成最初的y了。這三句話的結果是，x和y的位置互換了。

　　加法和減法互為逆運算，並且加法滿足交換律。把#換成+，把@換成-，我們可以寫出一個不需要臨時變量的swap過程（Pascal）。

procedure swap(var a,b:longint);

begin

a:=a + b;

b:=a - b;

a:=a - b;

end;

　　好了，剛才不是說xor的逆運算是它本身嗎？於是我們就有了一個看起來非常詭異的swap過程：

procedure swap(var a,b:longint);

begin

a:=a xor b;

b:=a xor b;

a:=a xor b;

end;

　　注意：位運算版本的交換兩數不適用於一個數的自我交換。也就是說，如果上述程序的“b”改成“a”的話，其結果是變量a變成零。因此，在使用快速排序時，由於涉及到一個數的自我交換，因此如果要在其中使用位運算版的交換兩數的話，應該先判斷。具體的時間損耗在此略過。

=== 4. not運算 ~ ===

not運算的定義是把內存中的0和1全部取反。使用not運算時要格外小心，你需要注意整數類型有沒有符號。如果not的對象是 無符號整數（不能表示負數），那么得到的值就是它與該類型 上界的差，因為無符號類型的數是用00到$FFFF依次表示的。下面的兩個程序（僅語言不同）均返回65435。

var

a:word;

begin

a:=100;

a:=not a;

writeln(a);

end.

 

#include<stdio.h>

int  main()

{

     unsigned  short  a=100;

     a=~a;

     printf ( "%d\n" ,a);

     return  0;

}

 

　　如果not的對象是有符號的整數，情況就不一樣了，稍后我們會在“整數類型的儲存”小節中提到。

=== 5. shl運算 << ===

　　a shl b就表示把a轉為二進制后左移b位（在后面添b個0）。例如100的二進制為1100100，而110010000轉成十進制是400，那么100 shl 2 = 400。可以看出，a shl b的值實際上就是a乘以2的b次方，因為在二進制數后添一個0就相當於該數乘以2。

　　通常認為a shl 1比a * 2更快，因為前者是更底層一些的操作。因此程序中乘以2的操作請盡量用左移一位來代替。

　　定義一些 常量可能會用到shl運算。你可以方便地用1 shl 16 - 1來表示65535。很多算法和數據結構要求數據規模必須是2的冪，此時可以用shl來定義Max_N等常量。

=== 6. shr運算 >> ===

　　和shl相似，a shr b表示二進制右移b位（去掉末b位），相當於a除以2的b次方（取整）。我們也經常用shr 1來代替div 2，比如 二分查找、堆的插入操作等等。想辦法用shr代替除法運算可以使程序效率大大提高。最大公約數的二進制算法用除以2操作來代替慢得出奇的mod運算，效率可以提高60%。

 

下面列舉了一些常見的二進制位的變換操作。

功能 | 示例 | 位運算

----------------------+---------------------------+--------------------

去掉最后一位 | (101101->10110) | x shr 1

在最后加一個0　| (101101->1011010) | x shl 1

在最后加一個1　| (101101->1011011) | x shl 1+1

把最后一位變成1　| (101100->101101) | x or 1

把最后一位變成0　| (101101->101100) | x or 1-1

最后一位取反 | (101101->101100) | x xor 1

把右數第k位變成1 | (101001->101101,k=3) | x or (1 shl (k-1))

把右數第k位變成0 | (101101->101001,k=3) | x and not (1 shl (k-1))

右數第k位取反　| (101001->101101,k=3) | x xor (1 shl (k-1))

取末三位 | (1101101->101) | x and 7

取末k位　| (1101101->1101,k=5) | x and(1 shl k-1)

取右數第k位　| (1101101->1,k=4) | x shr (k-1) and 1

把末k位變成1　| (101001->101111,k=4) | x or (1 shl k-1)

末k位取反 | (101001->100110,k=4) | x xor (1 shl k-1)

把右邊連續的1變成0 | (100101111->100100000) | x and (x+1)

把右起第一個0變成1 | (100101111->100111111) | x or (x+1)

把右邊連續的0變成1 | (11011000->11011111) | x or (x-1)

取右邊連續的1 | (100101111->1111) | (x xor (x+1)) shr 1

去掉右起第一個1的左邊 | (100101000->1000) | x and (x xor (x-1))（或 x and (-x)）