CF1392H ZS Shuffles Cards(概率)

題目大意

有 \(n + m\) 張不同的牌，其中有 n 張牌是編號 \(1 \to n\) 的，剩下的 m 張牌是鬼牌，但有標號。

現在我們對牌隨機打亂以后做如下兩個操作，且每個操作耗時 1：

如果牌頂不是鬼牌，那么把牌頂的牌的編號加入集合 s，然后把牌放到一邊

如果第一張牌是鬼牌，那么先看看集合 s 是不是包含 1 到 n 的所有元素，如果是就結束游戲，否則隨機打亂所有的牌（包括之前放到一邊的牌），繼續游戲。

求游戲結束的期望時間

數據范圍

\[1 \le n, m \le 2 \times 10^6 \]

解題思路

官方題解是個大麻煩思路，但評論區里有神仙給出了神奇而簡潔的做法，下面簡單介紹一下

首先你發現即使你已經湊夠了 n 個元素，但沒有抽到鬼牌仍不能結束游戲，而我們可以求出一次洗牌操作次數的期望值，然后求出期望下洗牌多少次即可

先求出操作次數的期望，對於每一張牌放到第一張鬼牌的前面的概率是 \(\frac {1}{m+1}\)，因此總共的期望就是 \(\frac n{m+1}+1\)

考慮期望下洗牌多少次，正着不好做？我們用 \(min-max\) 容斥，答案就是 \(\sum_{i=1}^n{n \choose i}(-1)^{i+1}g_i\)，\(g_i\) 表示抽到第一張的期望次數

顯然有 \(g_i = \sum_{j=0}[tim > j] = \sum_{j=0}(\frac {m}{m+i})^j=\frac {m+i}{i}\)， 答案也可以輕松算出了

但正着真的不好做嗎？神仙給出了更簡潔的做法，設 \(f_i\) 表示還要湊 n 個的期望次數

如果本次沒撈着，那么期望是 \(\frac {m}{m + i} \times f_i + 1\)，否則就是 \(\frac {i}{m+i} \times f_{i-1}\)

化簡方程得到 \(f_i= \frac {m}{i} + f_{i-1}\) 邊界條件是 \(f_0 = 1\)，得到 \(f_n = \sum_{i=1}^n\frac 1i\)

最后的一個問題就是為什么 \(\sum_{i=1}^n \frac 1i = \sum_{i=1}^n {n \choose i} (-1)^{i+1}\frac {1}{i}\)

這個問題是上面正推和倒推的兩個式子的化簡形式，請教了 ztb 學長，可以用數學歸納法證明，但 ei 說有積分證明的方法，我不是很會，路過的大佬可以教教我 😁