線性變換的矩陣表示

千里之行始於足下，重視基礎才是本質。
在矩陣論中提到的線性變換是一個相對抽象的概念，先給出相關定義

定義：
設V是數域K上的線性空間，T是V到自身的一個映射，使對任意向量\(x\in V\)，V中都有唯一的向量y與之對應，則稱T是V的一個變換或者算子，記\(Tx=y\)，稱y為x在T下的象，而x是y的原象（象源）

這個T類似於數學分析中的函數\(y=f(x)\)，不過那里是數量函數，這里是向量函數。如果變換T滿足一定的線性變換要求\(T(kx+ly)=kT(x)+lk(y)\)，則T為V的一個線性變換。
概念類比到數量函數，線性變換T的也是很好理解的。但是在具體計算過程中，我們怎么把抽象的概念具體化？這就涉及到線性變換的矩陣表示。從定義入手的話，如果需要確定線性變換T，則需要找到V中所有向量在T下的象。事實上不需要這么麻煩的。V中所有向量都可以由V的基向量組\((x_1,x_2,……,x_n)\)線性表示，加上T是V的線性變換，則V中所有象都可以由基象組(Tx_1,Tx_2,……,Tx_n)線性表示。

設T是線性空間\(V^n\)的線性變換，\(x\in V^n\),且\(x_1, x_2, ……,x_n\)是\(V^n\)的一個基，則
\(x=a_1x_1+a_2x_2+……+a_nx_n\)
\(Tx=a_1(Tx_1)+a_2(Tx_2)+……+a_nT(x_n)\)
令

\[\begin{cases} Tx_1=a_{11}x_1+a_{21}x_2+……+a_{n1}x_n \\ Tx_2=a_{12}x_1+a_{22}x_2+……+a_{n2}x_n \\ ……\\ Tx_n=a_{1n}x_1+a_{2n}x_2+……+a_{nn}x_n \end{cases}\]

在處理具體問題時，采用矩陣乘法的形式表示上述公式組：
\(T(x_1,x_2,……,x_n)=(Tx_1,Tx_2,……,Tx_n)=(x_1,x_2,……,x_n)A\)
這個A稱為線性變換T在\(V^n\)的基\(x_1,x_2,……,x_n\)下的矩陣，簡稱A為T的矩陣。
在處理題目時這一點經常牽扯到逆矩陣運算，也就是\(A=(x_1,x_2,……,x_n)^{-1}(Tx_1,Tx_2,……,Tx_n)\)（\(Tx_i\)是對第i個基向量施加線性變換，這個線性變換會提前給出，注意運算正確性）
相同的線性變換T，在一個基向量組\((x_1,x_2,……,x_n)\)下有一個矩陣A，在另一個基向量組\((y_1,y_2,……,y_n)\)下可能就有另一個矩陣B。問題如下：

\[\begin{cases} T(x_1,x_2,……,x_n)=(x_1,x_2,……,x_n)A \\ T(y_1,y_2,……,y_n)=(y_1,y_2,……,y_n)B \\ \end{cases}\]

解決思路無外乎兩種：1、分別計算，簡單粗暴；2、如果容易得到矩陣A，則可以通過基向量組之間的聯系建立起A和B的關系。比如已知矩陣A和\((y_1,y_2,……,y_n)=(x_1,x_2,……,x_n)C\)，則\(T(y_1,y_2,……,y_n)=T(x_1,x_2,……,x_n)C=(x_1,x_2,……,x_n)AC=(y_1,y_2,……,y_n)B=(x_1,x_2,……,x_n)CB\)，也就是\(B=C^{-1}AC\)。