定點數的表示和運算

目錄

• 定點數的表示
  • 原碼
  • 補碼
  • 反碼
  • 原補反相互轉換
  • 移碼
• 定點數的運算
  • 移位運算
    • 邏輯移位
    • 循環移位（了解即可）
  • 加減運算
    • 符號擴展
    • 溢出判斷
      • 如何判斷溢出？
  • 乘法運算（了解過程）
    • 原碼一位乘法
    • 補碼一位乘法
  • 除法運算（了解過程）
    • 原碼恢復余數法
    • 原碼不恢復余數法
    • 補碼加減交替法
  • 強制類型轉換
  • 回顧

定點數的表示

重點，難點

無符號數：整個機器字長的全部二進制位均為數值位，沒有符號位，相當於數的絕對值。

1001 1100B

寄存器的長度直接反映出了無符號數的表示范圍。

表示范圍：

8位二進制數：2的8次方種不同狀態

0000 0000 ~ 1111 1111 = 1 0000 0000 - 1

0~255=2^8 - 1

\[n位無符號數表示范圍為：0 - 2^n-1 \]

有符號數：

+156D = 0 1001 1100B

-156D = 1 1001 1100B

真值 機器數

小數點怎么辦？

沒有專門硬件表示小數點。按約定來表示的

小數點：隱含存儲（定點數：事先約定；浮點數：按規則浮動）

\[有n位尾數的定點小數：-(1-2^{-n})... 1-2^{-n} \]

\[有n位尾數的定點整數：-(2^n-1)...(2^n-1) \]

原碼

有符號數：

1. 原碼表示法
2. 補碼表示法
3. 反碼表示法
4. 移碼表示法

原碼：

\[[x]_原=\left\{ \begin{array}{rcl} 0,x & & {2^n ＞ x ≥ 0}\\ 2^n-x=2^n+|x| & & {0≥x＞-2^n} \end{array} \right. \]

符號+真值

如果是負數的話，前面多一個1，所以有2的n次方

2的n次方減去真值（因為是負值）部分。

實際上就是絕對值 + 1或者0

\[若字長為n+1，則原碼整數的表示范圍為-(2^n-1)≤x≤2^n-1（關於原點對稱） \]

純小數

原碼的特點：簡單、直觀

補碼

原碼在加減的情況會出現問題

如何把減法統一成加法？

時鍾，模12

補數：

一個負數加上“模”即得到該負數的補數

補碼：

對於正數，補碼與原碼的表示相同

對於負數，原碼符號位不變，數值部分按位取反，末位加1（取反加一）

\[若字長為n+1，則補碼的表示范圍為-2^n≤x≤2^n-1（比原碼多表示-2^n） \]

小數還是純小數

反碼

對於正數，反碼與原碼的表示相同

對於負數，原碼符號位不變，數值部分按位取反。

表示范圍：原碼一樣

原補反相互轉換

最高位為符號位，書寫上用“，”（整數）或“.”（小數）將數值部分和符號位隔開。

對於正數，原碼=補碼=反碼

對於負數，符號位為1，其數值部分

原碼除符號位外每位取反末位加1->補碼

原碼除符號位外每位取反->反碼

移碼

用來干啥的？

補碼是很難表示真值的大小的。

移碼就是在真值X上加上一個常數（偏置值），通常這個常數去2的n次方。

只有整數才有移碼

定點數的運算

1. 移位運算
2. 加減
3. 溢出判斷
4. 乘除
5. 強制類型轉換

移位運算

左移：絕對值擴大

右移：絕對值縮小

\[右移n位：/r^n，左移n位：*r^n \]

和加減法結合實現了乘除法

算術移位：機器碼采用有符號數

符號位不參與移位

正數：原碼、補碼、反碼都一樣->左移右移都補0

負數：反碼1，原碼0，補碼左移0右移1

原碼算術移位：左移丟1，運算出錯；右移丟1，影響精度。

邏輯移位

機器數采用無符號數：邏輯移位

邏輯左移時，高位移丟，低位添0

邏輯右移時，低位移丟，高位添0

循環移位（了解即可）

最高位添到最低位。

加減運算

補碼：兩個有符號數可以直接相加，不需要分類討論

加減法的基本思路：

1. 轉化為x+y的形式
2. 計算兩個補碼的相加

做題。

符號擴展

-B的補碼：連通符號位一起取反

-c的補碼：連同符號位一起取反。

溢出判斷

如何判斷溢出？

一：

兩個整數相加，符號位變成1

兩個負數相加，符號位變成0

邏輯表達式

與：如ABC，表示A與B與C，僅當A、B、C均為1時，ABC為1，A、B、C中有一個或多個為0，則ABC為0

或：如A+B+C,表示A或B或C，僅當A、B、C均為0時，A+B+C為0，ABC中有一個或多個是1，則A+B+C為1

非：如Abar，表示A非，取反。

二：

采用一位符號位。根據數據位進位情況判斷溢出

三：

采用雙符號位

正數符號為00，負數符號為11

乘法運算（了解過程）

直接做題。

原碼一位乘法

計算機用兩個寄存器（累加器（保存機器字長），乘商寄存器（保存乘數的絕對值））

初始累加器里的值000000.

乘商寄存器最右邊那個數字是1，則豎式+x

如果是0，就+00000，豎式不變

做一次操作寫進累加器里，然后豎式里、ACC、MQ右移一位。

一直從MQ里移出來的值變成乘數后，結束。

ACC和MQ里全部就是結果

補碼一位乘法

Booth算法。原理不需要掌握。

第一步，先求出補碼。用兩位符號位

乘法運算回顧：

除法運算（了解過程）

符號位和數值位分開處理

筆算：

原碼恢復余數法

符號位數值位分開處理

首先把絕對值寫出來，在寫出y絕對值補碼，y的絕對值相反數的補碼

加上y的y的絕對值相反數的補碼，判斷是不是大於y的

不是商0，是商1，左移

原碼不恢復余數法

若余數為負數，

需要加回。

補碼加減交替法

先求出補碼和負數的補碼（原碼是要求絕對值的補碼）

被除數和除數同號，則被除數減去除數；異號則被除數加上除數。

余數和除數同號，商1，余數左移一位減去除數；

余數和除數異號，商0，余數左移一位加上除數。

重復n次。

末尾恆置1

除法運算總結回顧

用十進制算不香嘛？

強制類型轉換

無符號數與有符號數：不改變數據內容，改變解釋方式

short x = -4321;	//short占用2個字節
unsigned short y = (unsigned short)x;

x: 1110 1111 0001 1111

y:1110 11110001 1111——真值：61215

長整數變短整數：高位截斷，保留地位。

int a = 165537,b=-34991;	//int占用4個字節
short c = (short)a, d = (short)b;

a:0x000286a1

c:0x86a1——真值-31071

b:0xffff7751

d:0x7751——真值30545

短整數變長整數：符號拓展

short x = -4321;
int m = x;
unsigned short n = (unsigned short)x;
unsigned int p = n;

x:1110 1111 0001 1111

m:1111 1111 1111 1111 1110 1111 0001 1111——真值-4321

n:1110 1111 0001 1111——真值61215

p:0000 0000 0000 0000 1110 1111 0001 1111——真值61215

回顧