1.試除法判定質數 2.分解質因數 質數

數論的基礎知識

質數（又稱素數）的定義：質數是指在大於1的自然數中，除了1和它本身以外不再有其他因數的自然數。

還有其他因數的是合數

1既不是質數也不是合數

一：如何判斷一個數是不是質數：試除法。時間復雜度O(sqrt(n))

性質：如果d能整除n的話，d | n，那么n / d也能整除n，(n / d) | n

n的所有約數都是成對出現的，d和n / d

所以我們在枚舉的時候，可以只枚舉每一對中較小的那一個

所以我們只枚舉d <= (n / d)這樣的d，即d * d <= n，d <= sqrt(n)。時間復雜度一定為O(sqrt(n))

二：分解質因數：試除法。

小學知識，如何將一個數分解質因數，短除法

分解質因數用短除法，把一個數進行短除可以分解成若干個質數相乘

分解質因數要從最小的質數2開始除，直到沒有因數2再除以下一個質數3…直至除得的商也是質數為止。

如何用編程實現短除法

暴力做法

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
void divide(int n) {
    for (int i = 2; i <= n; i++) {
        if (n % i == 0) { //求i的次數。只要這行成立，i一定是質數
            int s = 0;
            while (n % i == 0) {
                n /= i;
                s++;
            }
            //結束后，s就是i的次數
            cout << i << " " << s << endl;
        }
    }
}
int main() {
    int n;
    cin >> n;
    while (n--) {
        int x;
        cin >> x;
        divide(x);
        cout << endl;
    }
    return 0;
}

這里有些細節，對一個數分解質因數，從思路上想，應該枚舉這個數所有的質因數，但是在第4行，是枚舉了n這個數所有的因數 

枚舉所有的因數，而不是枚舉所有的質因數，會不會錯了

其實是沒錯的，然后就是數論較難理解的數學知識部分了，為什么這樣不錯

　　當枚舉到i的時候，就意味着已經把從2 ~ i - 1所有的n的質因子都除干凈了

　　然后如果又有n % i == 0成立的話，n是i的倍數，所以i當中也不包含任何2 ~ i - 1的質因子，所以i一定是個質數

這樣的做法時間復雜度O(n)，然后想辦法進行優化

首先有個性質：任意一個正整數n最多只有一個質因數大於根號n

很容易用反證法證明，如果n這個數有兩個質因數大於根號n，那兩個大於根號n的數相乘就大於n了

所以我們可以先把所有小於等於根號n的質因子枚舉出來，這樣時間復雜度就是O(sqrt(n))，最后再找那一個可能存在的大於根號n的質因子

時間復雜度最好的是O(log n)，最壞是O(sqrt(n))

 題目一：試除法判定質數

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
bool is_prime(int n) { //試除法
    if (n < 2) {
        return false;
    }   
    for (int i = 2; i <= n / i; i++) {
        if (n % i == 0) {
            return false;
        }
    }
    return true;
}
int main() {
    int n;
    cin >> n;
    while (n--) {
        int x;
        cin >> x;
        if (is_prime(x)) {
            cout << "Yes" << endl;
        } else {
            cout << "No" << endl;
        }
    }
    return 0;
}

題目二：分解質因數

 

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
void divide(int n) {
    for (int i = 2; i <= n / i; i++) {
        if (n % i == 0) { //求i的次數。只要這行成立，i一定是質數
            int s = 0;
            while (n % i == 0) {
                n /= i;
                s++;
            }
            //結束后，s就是i的次數
            cout << i << " " << s << endl;
        }
    }
    if (n > 1) { //如果最后n還大於1,那么此時的n就是那個大於根號n的質因子
        cout << n << " " << 1 << endl;
    }
}
int main() {
    int n;
    cin >> n;
    while (n--) {
        int x;
        cin >> x;
        divide(x);
        cout << endl;
    }
    return 0;
}