Educational Codeforces Round 92 (Rated for Div. 2)
A. LCM Problem
題意：詢問 \([l,r]\) 中是否存在 \(x,y(x\neq y)\) 使得 \(l\leq x, y, LCM(x,y)\leq r\) 。
思路：\(LCM(x,y)\) 必定同時是 \(x,y\) 的倍數，並且 \(x\neq y\) ，因此 \(LCM(x,y)\) 至少是 \(\min{\{x,y\}}\) 的兩倍。因此直接構造一組最小的 \((x,y)\) 為 \((l,2l)\) 。
#include <bits/stdc++.h>
#define db double
using namespace std;
int main() {
ios::sync_with_stdio(false);
cin.tie(nullptr); cout.tie(nullptr);
int t; cin >> t;
while (t--) {
long long l, r;
cin >> l >> r;
if (l + l > r) cout << "-1 -1\n";
else cout << l << ' ' << l + l << '\n';
}
return 0;
}
B. Array Walk
題意：你一開始在 \(1\) 擁有權值 \(a_1\) ，你可以向左或向右走，走到 \(i\) 增加權值 \(a_i\)，但是不能連續向左走，比如不能\((5,4,3,4,5)\)但是可以 \((5,4,5,4,5)\)，問走 \(k\) 步，最多向左走 \(z(\leq 5)\) 次獲得的最大權值是多少。
思路：分成兩種情況 一種是中間有 \(z\) 次向左后立即向右，另一種是 \(z-1\) 次向左，走到最右端后向左走一步並結束。
每次向左並立即向右，一定是區間內最大的相鄰兩格的和，預處理一下。枚舉 \(z\) 的值，計算，取最大值即可。
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn = 1e5 + 5;
int a[maxn];
int v[maxn], sum[maxn];
int main() {
ios::sync_with_stdio(false);
cin.tie(nullptr); cout.tie(nullptr);
int t; cin >> t;
while (t--) {
int n, k, z;
cin >> n >> k >> z;
for (int i = 1; i <= n; ++i) {
cin >> a[i];
sum[i] = sum[i - 1] + a[i];
v[i] = 0;
}
for (int i = 2; i <= n; ++i)
v[i] = max(v[i - 1], a[i] + a[i - 1]);
k++;
int ans = 0;
for (int i = 0; i <= z; ++i) {
int cnt = sum[k];
if (k - 2 * i >= 2) {
int s1 = sum[k - 2 * i] + i * v[k - 2 * i];
cnt = max(s1, cnt);
}
if (i && k - 2 * i + 1 >= 2) {
int g = k - 2 * i + 1;
int s2 = sum[g] + (i - 1) * v[g] + a[g - 1];
cnt = max(cnt, s2);
}
ans = max(ans, cnt);
}
cout << ans << '\n';
}
return 0;
}
C. Good String
題意：給定一個由 \(0\text{~}9\) 構成的字符串 \(s=t_1t_2\cdots t_n\) ，詢問最少從 \(s\) 中刪除幾個字符，使得新得到的字符串滿足： \(t_2t_3\cdots t_{n-1}t_nt_1=t_nt_1t_2\cdots t_{n-2}t_{n-1}\) 。
思路：我們很容易推出：\(t_1=t_3=t_5=\cdots \cap t_2=t_4=\cdots t_n\) 。因此，該字符串的構成最多只有兩種字符，並且只有兩種字符時，必定形如 \(121212\cdots\) 。由於該字符串由 \(0\text{~}9\) 構成，這一共只有 \(9\times9+10\) 種情況，直接暴力枚舉即可。
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int main() {
ios::sync_with_stdio(false);
cin.tie(nullptr); cout.tie(nullptr);
int t; cin >> t;
while (t--) {
string s; cin >> s;
vector<vector<int> > pos(10);
for (int i = 0; i < s.length(); ++i) {
int x = s[i] - '0';
pos[x].push_back(i);
}
int ans = 0;
for (int i = 0; i < 10; ++i) ans = max(ans, (int)pos[i].size());
for (int i = 0; i < 10; ++i) {
for (int j = 0; j < 10; ++j) {
if (i == j) continue;
int cnt = 0;
int l = 0, r = 0, preR = -1;
while (l < pos[i].size() && r < pos[j].size()) {
if (pos[i][l] < pos[j][r] && pos[i][l] > preR) {
cnt += 2;
preR = pos[j][r];
++l, ++r;
}
else if (pos[i][l] > pos[j][r]) ++r;
else ++l;
}
ans = max(ans, cnt);
}
}
cout << (int)s.length() - ans << '\n';
}
return 0;
}
D. Segment Intersections
題意：給出 \(n\) 條線段 \([l_1,r_1]\) 和 \(n\) 條 \([l_2,r_2]\)，每次操作可以將一條線段 \([x,y]\) 變成 \([x-1,y]\) 或 \([x,y+1]\)，問最少幾次操作使得每對線段交的總和大於等於 \(k\)（線段長度為 \(y-x\)）。
思路：將線段交分成三個階段，令 \(l_1 < l_2\) 且 兩條線段相離，第一階段為 \(r_1\) 延伸到 \(l_2\)， \(l_2\) 延申到 \(r_1\)（性價比 \(2\) ），第二階段為 \(r_1\) 從 \(l_2\) 到 \(r_2\)，\(l_2\) 從 \(r_1\) 到 \(l_1\)（性價比 \(1\) ），第三階段無限延申（性價比 \(2\) ）。
顯然第二階段最合算，第一、第三階段相同，那么枚舉有幾條線段完成第一階段，然后盡量完成第二階段，否則第三階段取最小值即可。
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define int long long
signed main() {
ios::sync_with_stdio(false);
cin.tie(nullptr); cout.tie(nullptr);
int t; cin >> t;
while (t--) {
int n, k;
cin >> n >> k;
int l1, r1, l2, r2;
cin >> l1 >> r1 >> l2 >> r2;
if (l1 > l2) swap(l1, l2), swap(r1, r2);
int s1 = 0, s2 = 0;
if (l2 >= r1) s1 = l2 - r1;
//相交代價
//相交長度
int intersect = 0;
if (l2 <= r1) intersect = min(r1, r2) - l2;
//1 代價的長度
s2 = r1 - l1 + r2 - l2 - intersect * 2;
if (intersect * n >= k) {
cout << "0\n";
continue;
}
if (s1 && k <= s1) {
cout << s1 + k << '\n';
continue;
}
int ans = 1e18;
for (int i = 1; i <= n; i++) {
int cnt = 0, now = intersect * n;
cnt += i * s1 * 2;
now += i * s1;
if (now >= k) {
ans = min(ans, cnt);
break;
}
if (now + i * s2 >= k) {
cnt += k - now;
ans = min(ans, cnt);
continue;
}
cnt += i * s2;
now += i * s2;
cnt += (k - now) * 2;
ans = min(ans, cnt);
}
cout << ans << '\n';
}
return 0;
}
E. Calendar Ambiguity
題意：\(\text{Berland year}\) 由 \(m\) 個月構成，每個月有 \(d\) 天，每星期有 \(w\) 天。詢問有幾對 \((x,y)\) 滿足 \(x\) 月 \(y\) 日和 \(y\) 月 \(x\) 日對應的星期幾相同。
思路：轉化題意為 \([(x-1)d+y] \% w = [(y-1)d+x] \% w\) ，然后進行推導：
因此，\(x-y\) 必定是 \(\frac{w}{g}\) 的倍數，簡單地推一下公式即可。
#include <bits/stdc++.h>
#define ll long long
using namespace std;
int main() {
ios::sync_with_stdio(false);
cin.tie(nullptr); cout.tie(nullptr);
int t; cin >> t;
while (t--) {
ll m, d, w;
cin >> m >> d >> w;
if (d == 1) {
cout << "0\n";
continue;
}
ll g = __gcd(w, d - 1);
ll ww = w / g;
ll top = min(d, m);
ll num = (ll)floor(1.0 * top / ww);
ll ans = top * num - num * (num + 1ll) / 2ll * ww;
cout << ans << '\n';
}
return 0;
}