初中數學幾何推理大梳理

數學老師讓整理來着，放出來造（PO）福（HAI）社會

整理了初中數學幾何所有目前考試中有可能在推理題中出現的需要填的內容。

有疏漏歡迎評論區幫忙勘誤。

抄 書 大 王，看了初中數學全部內容應該木有疏漏了（才怪）。

三角函數這些感覺不太會考，咕掉了。

線

1. 兩點之間，線段最短
2. 垂線段最短
3. 平行線性質+判定（依據寫前面，結果寫后面）：
   • 兩直線平行 \(\Leftrightarrow\) 同位角相等
   • 兩直線平行 \(\Leftrightarrow\) 內錯角相等
   • 兩直線平行 \(\Leftrightarrow\) 同旁內角相等

角

1. 同角或等角的余角相等；同角或等角的補角相等。
2. 對頂角相等
3. 角平分線：
   • 性質：角平分線上的點到角的兩邊的距離相等
   • 判定：角的內部到角兩邊的距離相等的點在角的平分線上

旋轉對稱變換

1. 關於某條直線對稱的兩個圖形是全等形
2. 對稱軸是對稱點的所連線段的垂直平分線
3. 垂直平分線：
   • 性質：線段垂直平分線上的點到這條線斷兩個端點距離相等
   • 到一條線段兩個端點距離相等的點在這條線段的垂直平分線上
4. 旋轉
   • 性質
     • 對應點到旋轉中心的距離相等
     • 對應點與旋轉中心所連線段的夾角等於旋轉角
     • 旋轉前后圖形全等
5. 中心對稱：
   • 性質
     • 對應點所連線段都經過對稱中心，而且被對稱中心所平分
     • 對應線段平行（或在同一直線上）且相等

三角形

1. 三角形的一個外角等於它不相鄰的兩個內角的和

2. 三角形的外角和是 \(360°\)

3. 三角形內角和是 \(180°\)

4. 全等三角形判定：

   • SSS：三邊對應相等的兩個三角形全等
   • SAS：兩邊和它們的夾角對應相等的兩個三角形全等
   • ASA：兩角及其夾邊分別相等的兩個三角形全等
   • AAS：兩角及其中一個角的對邊對應相等的兩個三角形全等
   • HL：斜邊和一條直角邊分別相等的兩個直角三角形全等

5. 等腰三角形：

   • 性質：
     • 等邊對等角
     • 三線合一
   • 判定：
     • 等角對等邊

6. 等邊三角形：

   • 性質：三邊相等，三個內角都相等都是 \(60°\)
   • 判定：
     • 三條邊都相等的三角形
     • 三個內角都相等的三角形
     • 有一個內角是 \(60°\) 的等腰三角形

7. 直角三角形性質：

   • 兩個銳角互余
   • 直角三角形斜邊上的中線等於斜邊的一半
   • 直角三角形中，如果一個銳角為 \(30°\)，它對所對的直角邊等於斜邊的一半

8. 勾股定理：

   • 互逆：\(a^2 + b^2 = c^2\ \Leftrightarrow\) 直角三角形

9. 中位線：三角形的中位線平行於第三邊，並且等於第三邊的一半

10. 相似三角形：

    • 判定：

      • 平行於三角形一邊的直線截其他兩邊（或延長線）所構成的三角形和原三角形相似

      • 兩角分別相等的兩個三角形相似

      • 兩邊成比例且夾角相等的兩個三角形相似

      • 三邊成比例的兩個三角形相似

      • 如果一個直角三角形的斜邊和一條直角邊與另一個直角三角形的斜邊和一條直角邊對應成比例，那么這兩個三角形相似。（書上的話真麻煩，直接兩個直角三角形一條斜邊與一條直角邊分別對應成比例不就完了。）

四邊形

1. 平行四邊形：

   • 性質：
     • 對邊平行且相等
     • 對角相等，鄰角互補
     • 對角線互相平分
   • 判定
     • 兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形
     • 兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形
     • 兩條對角線互相平分的四邊形是平行四邊形
     • 一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形

2. 平行線間距離處處相等

3. 矩形：

   • 性質：

     • 平四的一切性質）

     • 矩形四個角都是直角

     • 矩形對角線相等

   • 判定：

     • 有一個角是直角的平行四邊形是矩形
     • 有三個角是直角四邊形是矩形
     • 對角線相等的平行四邊形是矩形

4. 菱形：

   • 性質：
     • 平四的一切性質）
     • 四條邊相等
     • 菱形的四條邊都相等
     • 菱形的對角線互相垂直，並且每一條對角線平分一組對角
   • 判定：
     • 一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形
     • 四條邊都相等的四邊形是菱形
     • 對角線互相垂直的平行四邊形是菱形

5. 正方形：

   • 性質：
     • 四個角都是直角，四條邊都相等
     • 兩條對角線相等，並且垂直平分，每條對角線平分一組對角
     • 菱形+矩形的結合qwq）

多邊形

1. 多邊形的外角和是 \(360°\)
2. \(n\) 邊形內角和是 \((n - 2) \times 180°\)

圓

1. 垂徑定理：

   • 垂直於弦的直徑平分這條弦，並且平分弦所對的兩條弧
   • 推論：平分弦（非直徑）的直徑垂直於弦，並且平分弦所對的兩條弧

2. 圓心角定理

   • 在同圓或等圓中，相等的圓心角所對弧相等，所對弦相等
   • 推論：圓心角相等 \(\Leftrightarrow\) 狐相等 \(\Leftrightarrow\) 弦相等

3. 圓周角定理：

   • 在同圓或等圓中，一條弧所對的圓周角等於它所對圓心角的一半
   • 推論1：同弧或等弧所對的圓周角相等
   • 推論2：半圓（或直徑）所對的圓周角是直角；90°角的圓周角所對的弦是直徑

4. 圓內接四邊形對角互補

5. 切線

   • 判定：經過半徑外端並且垂直於這條半徑的直線是圓的切線

6. 切線長定理：

   • 從圓外一點引圓的兩條切線，它們的切線長相等，這一點和圓心的連線平分這兩條切線的夾角