本題為猿輔導2017年秋季初中數學競賽基礎班作業題，適合初一以上數學愛好者作答。
問題：
將 $5^{1995} - 1$ 分解為三個整數之積，且每一個因數都大於 $5^{100}$.
解答：
由 $1995 = 5\times399$, 考慮換元並使用基本乘法公式：$a^5 - 1 = (a - 1)\left(a^4 + a^3 + a^2 + a + 1\right)$.
令 $5^{399} = n$, 可得 $$5^{1995} - 1 = n^5 - 1 = (n - 1)\left(n^4 + n^3 + n^2 + n + 1\right),$$ 易知第一項 $n - 1 = 5^{399} - 1 > 5^{100}$, 主要目標將第二項進行分解。
考慮使用平方差並注意到 $5n = 5^{400}$ 是完全平方數。$$n^4 + n^3 + n^2 + n + 1$$ $$= \left(n^2 + 3n + 1\right)^2 - 5n(n+1)^2$$ $$= \left(n^2 + 3n + 1\right)^2 - 5^{400}\cdot(n+1)^2$$ $$= \left[\left(n^2 + 3n + 1\right) + 5^{200}\cdot(n+1)\right]\cdot\left[\left(n^2 + 3n + 1\right) - 5^{200}\cdot(n+1)\right].$$ 易知 $$\left(n^2 + 3n + 1\right) + 5^{200}\cdot(n+1) > 5^{100}.$$ 最后需驗證后一項是否符合題意，即 $$\left(n^2 + 3n + 1\right) - 5^{200}\cdot(n+1)$$ $$= 5^{798} + 3\times5^{399} - 5^{599} - 5^{200} + 1.$$ 考慮作差比較：$$\left(5^{798} + 3\times5^{399} - 5^{599} - 5^{200} + 1\right) - \left(5^{100} + 1\right)$$ $$= 5^{798} + 3\times 5^{399} - 5^{599} - 5^{200} - 5^{100}$$ $$= \left(5^{798} - 5^{599}\right) + \left(5^{399} - 5^{200}\right) + \left(5^{399} - 5^{100}\right) + 5^{399} > 0.$$ 即 $$5^{798} + 3\times5^{399} - 5^{599} - 5^{200} + 1 > 5^{100}.$$ 綜上，命題得證。
作者簡介：
趙胤，海歸雙碩士（數學建模 & 數學教育），中國數學奧林匹克一級教練員，曾執教於首師大附屬實驗學校及北京四中，目前擔任猿輔導數學競賽教學產品中心副總監。在10余年的教學生涯中，培養了300余名國內外數學競賽獲獎選手，包括華杯賽、小奧賽、全國初高中數學聯賽一等獎，全美數學競賽（AMC）、美國數學邀請賽（AIME）滿分等。
作者微信：zhaoyin0506