動態規划
官方解釋：
動態規划（Dynamic Programming，DP）是運籌學的一個分支，是求解決策過程最優化的過程。20世紀50年代初，美國數學家貝爾曼（R.Bellman）等人在研究多階段決策過程的優化問題時，提出了著名的最優化原理，從而創立了動態規划。動態規划的應用極其廣泛，包括工程技術、經濟、工業生產、軍事以及自動化控制等領域，並在背包問題、生產經營問題、資金管理問題、資源分配問題、最短路徑問題和復雜系統可靠性問題等中取得了顯著的效果。
動態規划是程序進階路上必須要經過的一個山坡，所以記錄在學習動態規划過程中的方法和思路。
動態規划系列文章一共分為九個部分，每一個部分都是一個獨立的例子，難易程度逐漸遞增。這九個例子分別是：
- 動態規划系列之一爬樓梯問題
- 動態規划系列之二最大和子數組
- 動態規划系列之三乘積最大子數組
- 動態規划系列之四梅花樁問題
- 動態規划系列之五打家劫舍
- 動態規划系列之六01背包問題
- 動態規划系列之七完全背包問題
- 動態規划系列之八多重背包問題
- 動態規划系列之九找零錢
爬樓梯問題
不管問題有多難，我們首先來個望聞問切。以下面這個爬樓梯問題作為開胃菜。請聽題：
有一座高度是10級台階的樓梯，從下往上走，每跨一步只能向上1級或者2級台階。要求用程序來求出一共有多少種走法。比如，每次走1級台階，一共走10步，這是其中一種走法。我們可以簡寫成 1,1,1,1,1,1,1,1,1,1。
那么先不看答案，你覺得這一個問題該如何解決呢？從下往上一步一步的走，for循環嘗試所有的辦法嗎？每一步的走法都會影響后面的走法，所以計算的量非常龐大。那么使用動態規划的解題思路如何處理呢？
動態規划問題的解決方式有幾個固定的套路，個人總結為：
- 建立數學模型
- 狀態轉移方程
- 確立邊界值
第一步 建立數學模型
假設走到第10級台階有f(10)種方法，走到第9級台階有f(9)種方法。記住這里f(10)就是走10級台階走法的數量，這是動態規划的常見數學模型
第二步 狀態轉移方程
走到 10 級台階時前面有兩種可能，一種是從第8級台階走上來，一次跨了2級台階；或者從第9級台階走上來，一次跨了1級台階。所以說 走第10級台階的總數 = 到第9級台階的走法 + 到第8級台階的走法
f(10) = f(9) + f(8)
同樣道理，走到第9級台階時肯定有兩個可能，要么從第7級台階過來，要么從第8級台階過來。所有
f(9) = f(8) + f(7)
f(8) = f(7) + f(6)
f(7) = f(6) + f(5)
.....
總結狀態轉移方程就是：
f(n) = f(n-1) + f(n-2)
第三步 確立邊界值
第1級台階只有一種走法，就是1步跨上去，第2級台階有兩種走法，分別是每次跨一步，兩次；一次跨兩級台階，一次;所以：
f(1) = 1
f(2) = 2
代碼實現
有了以上的理論基礎就可以寫出代碼來實現這個上樓梯問題。
def up(n):
if n == 1:
return 1
if n == 2:
return 2
total = up(n-1) + up(n-2)
return total
result = up(10)
print('台階的走法為：%d' % result)
台階的走法為：89
換一個思路
以上的思路是一種由上向下的解法思路，從最后一個值不斷向前推導，直到遇到邊界情況。可以換一個思路，從下往上看。走第一步台階只有1種方法，走第二部台階有2種方法，第三步台階可以從第1步跨2級上來，也可以是從第2步跨1級上來。所以：
已知： 邊界情況 f(1) = 1, f(2) = 2 ,並且知道f(3) = f(1) + f(2)
求解：f(10)
def up(n):
if n == 1:
return 1
if n == 2:
return 2
a = 1
b = 2
sum_num = 0
for i in range(3,n+1):
# 狀態轉移方程：f(n) = f(n-1) + f(n-2)
sum_num = a + b
a = b
b = sum_num
return sum_num
總結
那么到這里就已經完成了走樓梯的解法，從代碼量來看，核心代碼不超過10行，是不是沒有想象的那么難呢？是的，動態規划並不是想象的那么難，只要能領會思路，了解解題套路就暢通無阻啦。
另外可以看到動態規划問題既可以使用迭代解法，也可以使用循環解法。從常見的解題思路來看，循環的方法比較多。那么如果你已經理解了動態規划的建立數學模型 + 狀態轉移 + 確立邊界值，說明本篇就完全掌握了。