matlab練習程序（修正指數曲線擬合）

對於一般的指數曲線如：y=a*e^(k*t)，可以先對兩邊求對數得到：log(y) = log(a)+k*t 這樣的曲線，然后用最小二乘來計算系數。

但是對於修正指數曲線如：y=k+a*b^t 這樣的函數，沒法直接求對數然后用最小二乘，因為有一個常數項k，這里可以利用三和法來計算系數。

對於曲線 y = k+a*b^t，三和法計算各系數公式如下：

其中：

其中：

m=n/3，這里的n就是所有數據的總個數。

這種方法不止可以計算形如y = k+a*b^t這樣的修正指數曲線，還可以計算形如y=k*a^(b^t)這樣的compertz曲線和形如y=1/(k+a*b^t)這樣的logistic曲線，因為compertz曲線可以通過求log得到修正指數曲線，而logistic曲線可以通過求倒數得到修正指數曲線。

matlab代碼如下：

clear all;
close all;
clc;

a=45.73423;
b=0.4234;
k=34.34534;

t=1:30;         %t為整數沒問題
t=1:0.1:30;     %t為小數有問題，只能求出k

y=k+a*b.^t;
plot(t,y);

m=floor(length(t)/3);
S1 = sum(y(1:m));
S2 = sum(y(m+1:2*m));
S3 = sum(y(2*m+1:3*m));
b = ((S3-S2)/(S2-S1))^(1.0/m);
a = (S2-S1)*(b-1)/(b*(b^m-1)^2);
k = (1.0/m)*(S1 - a*b*(b^m-1)/(b-1));

y1=k+a*b.^t;
hold on;
plot(t,y1,'ro');

newy = y - k;
%log(newy) = log(a) + log(b)*t;
X = [t' ones(length(t),1)];
Y = log(newy)';

C = inv(X'*X)*X'*Y;
a = exp(C(2));
b = exp(C(1));

y=k+a*b.^t;
hold on;
plot(t,y,'r.');

對於上面的程序，有一點需要注意，當t為整數變化時，該方法求得的結果是正確的。

但是當t為小數變化是，該方法直接求得的a和b是錯誤的，但是k是正確的，有了k，同樣可以利用最小二乘計算出a和b。

結果如下：

當t為整數時：

當t為小數時：