一、多項式擬合
- ployfit(x,y,n) ：找到次數為 n 的多項式系數，對於數據集合 {(x_i,y_i)}，滿足差的平方和最小
- [P,E] = ployfit(x,y,n) ：返回同上的多項式 P 和矩陣 E 。多項式系數在向量 p 中，矩陣 E 用在 ployval 函數中來計算誤差
- 某數據的橫坐標為 x= [0.2 0.3 0.5 0.6 0.8 0.9 1.2 1.3 1.5 1.8]，縱坐標為 y = [1 2 3 5 6 7 6 5 4 1]，對該數據進行多項式擬合
- 代碼
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clc
x = [0.2 0.3 0.5 0.6 0.8 0.9 1.2 1.3 1.5 1.8];
y = [1 2 3 5 6 7 6 5 4 1];
p5 = polyfit(x,y,5); % 5 階多項式擬合
y5 = polyval(p5,x);
p5 = vpa(poly2sym(p5),5) %顯示 5 階多項式
p9 = polyfit(x,y,9); % 9 階多項式
y9 = polyval(p9,x);
figure; %畫圖
plot(x,y,'bo');
hold on;
plot(x,y5,'r:');
plot(x,y9,'g--');
legend('原始數據','5 階多項式擬合','9 階多項式擬合');
xlabel('x');
xlabel('y');
-
運行程序后，得到的 5 階多項式如下：
p5 =10.041x^5 + 58.244x^4 - 124.54x^3 + 110.79x^2 - 31.838*x + 4.0393 -
輸出結果如下：
-
可見，當采用 9 次擬合時，得到的結果與原數據符合的比較好。當使用函數 polyfit() 進行擬合時，多項式的階次最大不超過 length(x) - 1
二、加權最小方差(WLS)擬合原理及實例
- 加權最小方差就是根據基礎數據本身各自的准確度的不同，在擬合的時候給每個數據以不同的加權數值。這種方法比單純最小方差方法要更加符合擬合的初衷
- 根據 WLS 數據擬合方法，自行編寫使用 WLS 方法擬合數據的 M 函數，然后使用 WLS 方法進行數據擬合
- 在 M 文件編輯器中輸入如下代碼：
function [th,err,yi] = polyfits(x,y,N,xi,r)
% x，y：數據點系列
% N：多項式擬合的系統
% r：加權系數的逆矩陣
M = length(x);
x = x(:);
y = y(:);
% 判斷調用函數的格式
if nargin == 4
% 當調用的格式為 (x,y,N,r)
if length(xi) == M
r = xi;
xi = x;
% 當調用的格式為(x,y,N,xi)
else r = 1;
end;
% 當調用格式為(x,y,N)
elseif nargin == 3
xi = x;
r = 1;
end
% 求解系數矩陣
A(:,N+1) = ones(M,1);
for n = N:-1:1
A(:,n) = A(:,n+1).*x;
end
if length(r) == M
for m =1:M
A(m,:) = A(m,:)/r(m);
y(m) = y(m)/r(m);
end
end
% 計算擬合系數
th = (A\y)';
ye = polyval(th,x);
err = norm(y-ye)/norm(y);
yi = polyval(th,xi);
- 將上面代碼保存為 “polyfits.m” 文件
- 使用上面的程序代碼，對基礎數據進行 LS 多項式擬合。在 MATLAB 的命令窗口輸入下面的程序
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clc
x = [-3:1:3]';
y = [1.1650 0.0751 -0.6965 0.0591 0.6268 0.3516 1.6961]';
[x,i] = sort(x);
y = y(i);
xi = min(x) + [0:100]/100*(max(x) - min(x));
for i = 1:4
N = 2*i-1;
[th,err,yi] = polyfits(x,y,N,xi);
subplot(2,2,i)
plot(x,y,'o')
hold on
plot(xi,yi,'-')
grid on
end
-
得到的擬合結果
-
LS 方法其實是 WLS 方法的一種特例，相當於將每個基礎數據的准確度都設為 1。但是，自行編寫的 M 文件和默認的命令結果不同
三、非線性曲線擬合
- 非線性曲線擬合是已知輸入向量 xdata，輸出向量 ydata，並知道輸入與輸出的函數關系為 ydata = F(x,xdata)，但不清楚系數向量 x。進行曲線擬合急求 x 使得下式成立：
\(\displaystyle{min_x} \frac{1}{2}|| F(x,xdata)-ydata||_2^2 = \frac{1}{2}\displaystyle{\sum_i}(F(x,xdata_i) - ydata_i)^2\) - 在 MATLAB 中，可以使用函數 curvefit 解決此類問題，其調用格式如下：
- x = lsqcurvefit(fun,x0,xdata,ydata)：x0 為初始解向量，xdata，ydata 為滿足關系 ydata = F(x,xdata)的數據
- x = lsqcurvefit(fun,x0,xdata,ydata,lb,ub)：lb、ub 為解向量的下屆和上屆 lb <= x <= ub，若沒有指定界，則lb = []，ub = []
- x = lsqcurvefit(fun,x0,xdata,ydata,lb,ub,options)：options 為指定的優化參數
- [x,resnorm] = lsqcurvefit(…)：resnorm 是在 x 處殘差的平方和
- [x,resnorm,residual] = lsqcurvefit(…)：residual 為在 x 處的殘差
- [x,resnorm,residual,exitflag] =lsqcurve(…)：exitflag 為終止迭代的條件
- [x,resnorm,residual,exitflag,output] =lsqcurve(…) ：output 為輸出的優化信息
- 已知輸入向量 xdata 和輸出向量 ydata，且長度都是 n，使用最小二乘非線性擬合函數：ydata(i) = x(1)·xdata(i)^2+x(2)·\sin(xdata(i))+ x(3)·xdata(i)^3
- 根據題意可知，目標函數為：\(min_x \frac{1}{2}\displaystyle{\sum_{i=1}^n}(F(x,xdata_i)-ydata_i)^2\)
- 其中：F(x,xdata) = x(1)·xdata^2+x(2)\sin(xdata)+x(3)·xdata^3
- 初始解向量定位 x0 = [0.3,0.4,0.1]
- 首先建立擬合函數文件 ex1024.m
function F = ex1024(x,xdata)
F = x(1)*xdata.^2 + x(2)*sin(xdata) + x(3)*xdata.^3;
- 再在命令行編寫函數擬合代碼;
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xdata = [3.6 7.7 9.3 4.1 8.6 2.8 1.3 7.9 10.0 5.4];
ydata = [16.5 150.6 263.1 24.7 208.5 9.9 2.7 163.9 325.0 54.3];
x0 = [10,10,10];
[x,resnorm] = lsqcurvefit(@ex1024,x0,xdata,ydata)
- 結果為 \(x = \begin{matrix}0.2269 &0.3385 &0.3022\end{matrix} ， resnorm = 6.2950\)，即函數在 x = 0.2269、x = 0.3385、x = 0.3022 處殘差的平方和均為 6.295
- 當然了，還有一鍾好用的東西叫 cftool，簡直不要太簡潔，入門操作請看：MATLAB如何快速進行曲線擬合