寫這篇 文章 的 原因 是 網友 水星之魅 在 反相吧 發了一個 帖 《知乎問題，Newton 如果穿越到現在，他會怎樣？》 https://tieba.baidu.com/p/6699008721 ，
我就去 知乎 上 找 這個 問題 看， 結果 這個 問題 沒找到， 找到了 另外一個 問題 《牛頓如果穿越到現在，能看懂相對論和量子力學嗎？》 https://www.zhihu.com/question/318014039/answer/645620511 。
這個問題中， 網友 的 回答 中 提到 ：
“
牛頓晚年時面對傑出年輕后輩約翰伯努利深入研究過的最速降線的挑戰一夜之間就給出答案這是什么概念！！后來牛頓在與朋友通信提到此事時曾經說過“我最討厭有人在數學上挑釁我！”
”
看到 這段話， 我不禁 莞爾一笑 。
傳說， 牛頓 一個晚上 就 搞定了 最速降線 。
從 歐拉-拉格朗日 方程 的 推導過程 可以看到， 推導 歐拉-拉格朗日 方程 需要 完整成熟 的 微積分計算體系， 根據 歐拉-拉格朗日 方程 推導出 最速降線 需要 解 微分方程 。 見 《最速降線的數學模型—變分法》 https://www.jianshu.com/p/961e890e88b2 。
有沒有 牛頓 推導 最速降線 的 手稿 和 推導方法 ？ 可以 拿來 看一看 。
天辯阮幼台 （陳彼方） skywalkerwyj （青蓮劍歌）
歐拉-拉格朗日 方程 描述 的 問題場景 是， 對於 二維平面 上 2 點 間 的 一段 曲線， 以 這段 曲線 作為 積分路徑， 作 某個 定積分， 問 曲線 是 什么樣 時， 定積分 值 最小 ？ 或者說， 求 定積分 值 最小 時 的 曲線（曲線方程） 。
尋找 三維空間 里的 曲面 上 的 2 點 間 的 最短距離線（短程線） 也是 一個 泛函問題 。
尋找 曲面 上 的 2 點 間 的 最速降線 也是 一個 泛函問題 。
曲面 上 2 點 間 的 短程線 不一定是 最速降線， 反之亦然 。
有沒有 可能 曲面 的 短程線 和 最速降線 是 同一條線 ？ 還是 永遠不可能 ？ 嗯， 這是個 問題 。
曲面 上 的 最速降線 是 什么？ 似乎 要 解釋一下 。 對於一個 曲面， 在 曲面 上 取 2 點， 在 2 點 間 在 曲面 上 畫 一條線， 讓 小球 沿着 這條線 在重力下滾動， 小球 從 一個點 最快 滾動 到 另一個 點 的 那條線， 就是 曲面 的 最速降線 。
通過 對 最速降線（包括 二維平面 和 三維曲面 的） 和 短程線 的 一些 研究， 可以看到， 泛函問題 涉及 到 某種 “整體規划” 。 如果 沒有 “整體規划”， 那么 泛函問題 就 退化 為 普通 的 微積分問題， 比如， 函數極值問題 、一般 的 微分方程 問題 、一般 的 級數問題 。
也可以說， 整體規划 是 泛函問題 的 一個 重要特征 。
因為 整體規划 的 關系， 我有一個 大膽 的 想法， 在 變分法 出現 以前， 純數學 解決 最速降線 問題 是 不可能 的 。
在《最速降線問題》 https://www.cnblogs.com/lfri/p/10327570.html 中， 介紹了 伯努利 利用 費馬原理 和 斯涅耳定理 來 證明 最速降線 的 方法 。
那是 一個 巧妙 的 方法， 也捎帶了 人們 主觀 的 美好願望 。
為了 便於 敘述， 我們 把 伯努利 利用 費馬原理 和 斯涅耳定理 來 證明 最速降線 的 方法 稱為 伯努利推導法 。
伯努利推導法 是這樣的， 根據 斯涅耳定理 （折射定律） ：
sin θ1 / v1 = sin θ2 / v2
於是， 對於 每一次 入射（折射）， 可得 ：
sin θ / v = C1 ， C1 為 常量 (1) 式
下一次 的 入射角 等於 上一次 的 折射角， 把 每一次 入射（折射） 看作 微元， 每一個 微元 都 滿足 (1) 式 的 曲線 就是 最速降線 。
設 曲線 是 y = p (x) ， 曲線 的 導數 是 y ′ ， 導數 是 曲線 上 一點 的 切線， 也就是 該點 微元 的 折射光 的 方向， (1) 式 中 的 θ 就是 折射角，
ctg θ = y ′
sin θ = 1 / 根號 ( 1 + y ′ ² )
代入 (1) 式， 得 ：
[ 1 / 根號 ( 1 + y ′ ² ) ] / v = C1 (2) 式
根據 機械能守恆， 可知 v = 根號 ( 2 g y ) ， 代入 (2) 式， 得 ：
[ 1 / 根號 ( 1 + y ′ ² ) ] / 根號 ( 2 g y ) = C1
1 / [ 根號 ( 1 + y ′ ² ) * 根號 ( 2 g y ) ] = C1
1 / [ 根號 ( 1 + y ′ ² ) * 根號 ( y ) ] = C1 * 根號 ( 2 g )
根號 ( 1 + y ′ ² ) * 根號 ( y ) = 1 / [ C1 * 根號 ( 2 g ) ]
令 C2 = 1 / [ C1 * 根號 ( 2 g ) ] ， 因為 C1 、g 是 常量， 所以 C2 也是 常量，
根號 ( 1 + y ′ ² ) * 根號 ( y ) = C2 (3) 式
(3) 式 就是 最速降線 的 微分方程， 解出 (3) 式 就可以得到 最速降線 的 曲線方程 。
(3) 式 和 用 變分法 歐拉-拉格朗日 方程 第二種形式 得到 的 微分方程 是 一樣 的 ， 見 《最速降線的數學模型—變分法》 https://www.jianshu.com/p/961e890e88b2 。 文章 里 還有 解 這個 微分方程 的 過程 。
伯努利推導法 並沒有 證明 推導出 的 “最速降線” （擺線） 是 小球 滾動 時間 最短 的 路徑 。
我上面說過 泛函 的 重要特征 是 整體規划， 用 直觀 和 邏輯 分析一下 可以知道， 最速降線 的 構造 也 需要 整體規划， 局部 的 最速 不代表 整體 的 最速 。
但是， 伯努利推導法 根據 每個微元 最速 推導出 的 整體 也是 最速， 這也許 是 一個 有趣 的 巧合 。
也就是說， 在 最速降線 問題 上， 任意 一個 局部 的 最優 等價於 整體 的 最優， 這也許 反映了 某種 全息 ？
伯努利推導法 的 依據 是 費馬原理 和 斯涅耳定理， 費馬原理 認為 光 總是 沿着 所需 時間 最少 的 路徑 前進， 但是 費馬原理 是 一個 原理， 差不多是一個 公設， 它有一些 實驗支持， 更多的是表達了 人們 主觀 的 願望 和 想象 。
理論上， 伯努利推導法 並沒有 給出 “最速降線”（擺線） 是 最速降線 的 證明 。
我原來還 懷疑 費馬原理 是否 成立， 試了一下， 還真可以 推導出 折射定律（斯涅耳定理） 。
如圖， 光線 從 A 點 出發， 沿 AC 以 速度 v1 到達 C 點， 又 從 C 點 以 速度 v2 沿 CB 到達 B 點， C 點 在 x 軸 上， 問 C 點 的 橫坐標 是 多少時， 光 沿 AC - CB 的 路徑 從 A 到 B 所用 的 時間 最短 ？
設 A 點 坐標 是 ( 0, h1 )， B 點 坐標 是 ( L, h2 ) ， C 點 坐標 是 ( x, 0 ) ，
AC = 根號 ( x ² + h1 ² )
BC = 根號 [ (L - x) ² + h2 ² ]
從 A 到 B 的 時間 t = AC / v1 + BC / v2
t = 根號 ( x ² + h1 ² ) / v1 + 根號 [ (L - x) ² + h2 ² ] / v2 (4) 式
(4) 式 中 x 為 自變量， h1, h2, L, v1, v2 為 常量 。
接下來 就是 求 t 的 最小值 發生在 什么時候， 這是一個 極值問題 。 函數極值 出現在 極值點 和 折點 。
極值點 是 導數 為 0 的 點， 且 點 的 兩邊 的 導數 異號 。
折點 是 導數 為 無窮， 但 函數值 不是 無窮， 且 點 的 兩邊 的 導數 異號 的 點 。 折點 也可以 稱為 不光滑極值點 。
還有一種情況 是 單邊折點， 單邊折點 是 導數 為 無窮， 函數值 不是 無窮， 且 只在 點 的一邊 有 函數， 另一邊 沒有 函數 的 點 。
比如， y = 根號 ( x ) ， 當 x = 0 時， y = 0 ， y ′ = 無窮 ， 當 x >= 0 時， y 存在， 當 x < 0 時， y 不存在 。
所以， x = 0 是 y = 根號 ( x ) 的 單邊折點 。
這里 只 考慮 極值點， 即 導數 為 0 的 情況， 簡單一點， 點 的 兩邊 導數 是否 異號 也略去 不考慮 。
先求 t 的 導數，
t ′ = [ 根號 ( x ² + h1 ² ) / v1 + 根號 [ (L - x) ² + h2 ² ] / v2 ] ′
= 1 / v1 * 1/2 * 1 / 根號 ( x ² + h1 ² ) * 2x + 1 / v2 * 1/2 * 1 / 根號 ( (L - x) ² + h2 ² ) * ( 2x - 2L )
= 1 / v1 * x / 根號 ( x ² + h1 ² ) + 1 / v2 * ( x - L ) / 根號 ( (L - x) ² + h2 ² )
= 1 / v1 * x / 根號 ( x ² + h1 ² ) - 1 / v2 * ( L - x ) / 根號 ( (L - x) ² + h2 ² )
t ′ = 1 / v1 * x / 根號 ( x ² + h1 ² ) - 1 / v2 * ( L - x ) / 根號 ( (L - x) ² + h2 ² ) (5) 式
簡單的分析一下， 若 v1, v2 不為 0 ， 則 h1, h2, L, x 無論 取 什么值， (5) 式 都不會 是 無窮 ， 所以 只要 看 t ′ = 0 的 情況 就可以 。
1 / v1 * x / 根號 ( x ² + h1 ² ) - 1 / v2 * ( L - x ) / 根號 ( (L - x) ² + h2 ² ) = 0
1 / v1 * x / 根號 ( x ² + h1 ² ) = 1 / v2 * ( L - x ) / 根號 ( (L - x) ² + h2 ² )
可以看到，
x / 根號 ( x ² + h1 ² ) = sin θ1
( L - x ) / 根號 ( (L - x) ² + h2 ² ) = sin θ2
於是，
1 / v1 * sin θ1 = 1 / v2 * sin θ2
sin θ1 / v1 = sin θ2 / v2 (6) 式
(6) 式 就是 折射定律 （斯涅耳定理） 。
看起來， 費馬原理 在 折射 時 是 成立 的， 也可以說， 折射定律 選擇 的 路徑 是 最速路徑 。
伯努利推導法 把 一次 折射 看作 一個 微元， 由上可知， 每個 微元 是 一個 最速路徑， 但 由 這些 微元 構成 的 曲線 是不是 最速路徑 ？ 不知道 。 這需要 證明 。
還可以 發現一件事， 來看 兩個 場景 。
場景一 ：
前提 ：
sin θ / v = C ， C 為常量
v = V ( y )
推論 ：
sin θ = 1 / 根號 ( 1 + y ′ ² )
sin θ / v = 1 / 根號 ( 1 + y ′ ² ) / V ( y ) = C
1 / [ 根號 ( 1 + y ′ ² ) * V ( y ) ] = C
根號 ( 1 + y ′ ² ) * V ( y ) = 1 / C (7) 式
場景二 ：
前提 ：
在 最速降線 問題 中， 設 最速降線 是 y = p ( x ) 。
由 機械能守恆 可知， v = 根號 ( 2 g y ) ， 一般的， 若 v 只和 y 有關系， 可以 寫成 v = V ( y ) 。
推論 ：
y = p ( x ) 的 曲線微元 ds = 根號 ( 1 + y ′ ² ) dx
小球 經過 每個 曲線微元 的 時間 dt = ds / v
小球 在 y = p ( x ) 曲線 上 從 x1 處 滾動 到 x2 處 所用的 時間 t = ʃ dt = ʃ ds / v = ʃ 根號 ( 1 + y ′ ² ) dx / v
= ʃ 根號 ( 1 + y ′ ² ) / v dx
= ʃ 根號 ( 1 + y ′ ² ) / V ( y ) dx
t = ʃ 根號 ( 1 + y ′ ² ) / V ( y ) dx
令 F = 根號 ( 1 + y ′ ² ) / V ( y ) ，
歐拉-拉格朗日方程 第二種形式 ：
∂ F / ∂ x - d ( F - y ′ * ∂ F / ∂ y ′ ) / dx = 0
把 F 代入 歐拉方程， 因為 F = 根號 ( 1 + y ′ ² ) / V ( y ) ， F 和 x 無關， 所以， ∂ F / ∂ x = 0 ， 於是，
d ( F - y ′ * ∂ F / ∂ y ′ ) / dx = 0
F - y ′ * ∂ F / ∂ y ′ = C ， C 為 常量
根號 ( 1 + y ′ ² ) / V ( y ) - y ′ * 1/2 * 1 / 根號 ( 1 + y ′ ² ) * 2 * y ′ / V ( y ) = C
根號 ( 1 + y ′ ² ) / V ( y ) - y ′ ² / [ 根號 ( 1 + y ′ ² ) * V ( y ) ] = C
( 1 + y ′ ² - y ′ ² ) / [ 根號 ( 1 + y ′ ² ) * V ( y ) ] = C
1 / [ 根號 ( 1 + y ′ ² ) * V ( y ) ] = C
根號 ( 1 + y ′ ² ) * V ( y ) = 1 / C (8) 式
(7) 式 和 (8) 式 相同 。 (7) 式 (8) 式 就是 最速降線 的 微分方程， 它 的 解 就是 最速降線 的 曲線方程 。
場景一 是 伯努利推導法， 場景二 是 用 變分法 解 最速降線 問題 ， 可以看到， (7) 式 和 (8) 式 是 一樣 的， 就是說， 場景一 和 場景二 推出 的 是 一樣 的 結果 。
場景一 和 場景二 推出 一樣 的 結果 說明了什么 ？ 是 一個 奇妙 的 巧合 ？ 還是 隱藏了 什么 神奇 的 自然原理 ？
在 《最速降線的數學模型—變分法》 的 結尾 提到 ： “最速降線的運動時間T全部都是常量，即與物體的初始位置無關。 最速降線也稱之為等時降線。”
我在 上文 中 也 提到 “在 最速降線 問題 上， 任意 一個 局部 的 最優 等價於 整體 的 最優” 。
等時 和 局部整體最優等價 這 兩者 之間 有什么關系 ？
從 場景一 和 場景二 中， 我們 可以 總結出 一個 規律： 只要 滿足 v = V ( y ) ， v 和 x 無關， 只 和 y 有關， 且 dt = ds / v ， 則 最速路徑 就 滿足 sin θ / v = C ， C 為常量 。
一般的， 對於 二維平面 上 的 運動， 總是有： ds = 根號 ( 1 + y ′ ² ) dx ， dt = ds / v ， t = ʃ 根號 ( 1 + y ′ ² ) / V ( y ) dx
所以， 可以 進一步 總結為， 只要 滿足 v = V ( y ) ， v 和 x 無關， 只 和 y 有關， 則 二維平面 上 的 最速路徑 就 滿足 sin θ / v = C ， C 為常量 。
這個規律 可以 稱為 二維平面 上 最速路徑 的 y 法則 。
在 場景二 里 ， 有這樣一句話 “ 因為 F = 根號 ( 1 + y ′ ² ) / V ( y ) ， F 和 x 無關， 所以， ∂ F / ∂ x = 0 ” ，
“ F 和 x 無關， 所以， ∂ F / ∂ x = 0 ” ， 這是一個 簡略 的 說法 。
比較 完整 的 應該是 “ F 在 形式 上 和 x 無關， 所以， ∂ F / ∂ x = 0 ” 。
∂ F / ∂ x 這個 偏導數 在 這里 可以認為是 不考慮 x 和 y 、y ′ 的 關系， 僅從 F 函數式 的 層面 來 取 F 和 x 的 導數關系， 而 F 函數式 中 沒有 x， 可以認為 在 F 層面， F 和 x 無關， 可以認為， 對於 x ， F 是 常量 。 於是， ∂ F / ∂ x = dC / dx = 0 / dx = 0 。
如果反過來， 認為， 對於 F ， x 是 常量 呢 ？ ∂ F / ∂ x = dF / dC = dF / 0 = 無窮 。 這有點尷尬 。
如果認為 F 和 x 都是 常量 ？ ∂ F / ∂ x = dC / dC = 0 / 0 = 1 。 這也不對 。
變分法（歐拉-拉格朗日 方程） 是 找到了 一種 對 曲線積分 進行 整體規划 的 數學方法 。 它 的 解 是 一條 最優路徑 。
我對 變分法 還沒有 仔細研究， 但 大概 應該是 這樣 的 。
又 因為 數學的界限， 我又有 一個 大膽 的 想法， 歐拉-拉格朗日 方程 是 純數學 解 泛函問題 的 登頂之作 。
有關 數學的界限， 見 《從 三江方士 的 中華級數 想到 數學的界限》 https://www.cnblogs.com/KSongKing/p/11160645.html 。
泛函 和 三體 是 數學 的 兩大問題， 這兩個 問題 和 工業體系 和 科技樹 關系密切 。
關於 泛函， 我之后會寫一篇文章 《離散泛函》 。
關於 三體， 我在 《一體方程 二體方程 三體方程》 https://www.cnblogs.com/KSongKing/p/12075154.html 中 提出了 “K 氏 n-體 猜想” 。
那， 接着， 我們可以問， 如果 積分路徑 是 曲面 呢 ？ 如何 來 求 曲面積分 的 最小條件 ？ 或者說， 曲面 是 什么樣 時， 在 曲面 上 的 某個 定積分 值 最小 ？
是不是 應該有個 三維版 的 歐拉-拉格朗日 方程 ？ 或者 三維版 的 變分法 ？ 或者說， 曲面版 的 歐拉-拉格朗日 方程， 曲面版 的 變分法 。
上文 提到 曲面 上 的 短程線 、最速降線， 還可以加一種線， 自由降線 。 將 一個 小球 放在 曲面 上， 讓 它 在 重力作用 下 滾動， 小球 滾過 的 軌跡 就是 自由降線 。
曲面 上 的 短程線 、最速降線 、自由降線 合起來稱為 “曲面上常見的三種線” 。
短程線 、最速降線 是 泛函問題， 自由降線 是 微分方程問題， 但是， 自由降線 太復雜了， 也可能變成 泛函問題， 來求 “最接近 理論解 的 那個路徑” ， 或者 “可能 的 若干 路徑” 。
留一道題 ：
如圖， 光線 從 A 點 出發， 沿 AC 以 速度 v1 到達 C 點， 沿 CD 以 速度 v2 到達 D 點， 沿 DB 以 速度 v3 到達 B 點，
A 點坐標 是 ( 0, 3h ) ， B 點 坐標 是 ( L, 0 ) ， C 點 坐標 是 ( xc, 2h ) ， D 點 坐標 是 ( xd, h ) ， h 、L 為 常量 。
問 C 點 D 點 的 橫坐標 xc 、xd 是 多少 時， 光 從 A 到 B 的 時間 最短 ？
參考資料 ：
《最速降線的數學模型—變分法》 https://www.jianshu.com/p/961e890e88b2
《最速降線問題》 https://www.cnblogs.com/lfri/p/10327570.html
《路徑積分一：構造路徑積分》 https://zhuanlan.zhihu.com/p/25140463
《如何理解路徑積分》 https://zhidao.baidu.com/question/1798621614932923107.html
《費馬原理的原理？》 https://www.zhihu.com/question/44736014
《費馬原理是基本的嗎？》 https://www.zhihu.com/question/374743354
《光是如何知道哪條路線最快的，費馬原理是不是違背常理呢？》 https://www.zhihu.com/question/20465361
《尋找“最好”（2）——歐拉-拉格朗日方程》 https://www.cnblogs.com/bigmonkey/p/9519387.html