以前對物理特別感興趣的時候看過一段時間的變分法，記得當時閱讀了一本十分不錯的書籍，其作者名挺有趣的—老大中先生的《變分法基礎》（真的很不錯的一本講變分法的書，有興趣的同學可以去看看，雖然沒繼續看下去了> <），但許久沒接觸物理了，公式的推導過程也給忘記了，最近想復習一點數學、物理了，所以今天來推導一下並寫篇博客做個記錄。其實當時我的數學基礎不足以支持我看完這本書...許多泛函的概念看的蒙蔽。。。但實際上直接去看最速降線問題的前面部分推導是沒有太大影響的，基礎只需要一點微積分+高中物理就能看明白原理...說起來當時僅僅是興趣驅使我去深入了解什么是變分法...當時知道結論時非常激動。。。但如何解最后得到的公式才是真正的變分法基礎。
首先來考慮一個問題：一個質點在重力作用下，從一個給定點到不在它垂直下方的另一點，如果不計摩擦力，問沿着什么曲線滑下所需時間最短？
問題稍微更物理一點的描述：設A、B是鉛直平面上不在同一鉛直線上的兩點，在所有連接A和B的平面曲線中，求出一條曲線，使僅受重力作用且初速度為零的質點從A點到B點沿該曲線運動時所需時間最短。
如圖所示（圖來自百科）：
下面是書上的證明：
如下圖中所示，取A為平面直角坐標系的原點，x軸置於水平位置，y軸正向朝下。顯然，最速降線應該在這個平面內。於是A點的坐標就是(0,0)。設B點的坐標為（x1,y1)。取連接A和B的曲線方程為：
$$ y = y(x) \quad (0 \leqslant x \leqslant x_1) \quad \quad (1) $$
它在區間[0,x1]的兩個端點滿足條件：
$$ y(0) = 0,y(x_1)=y_1 \quad \quad (2) $$
設M(x,y)為曲線y=y(x)上的任意一點，由機械能守恆定律可得到如下關系：
$$ mgh + \frac{1}{2}mv_0^2=mg(h-y) + \frac{1}{2}mv^2 \quad \quad (3) $$
式中，v0=0，g是重力加速度，故有：
$$ v = \sqrt{2gy} \quad \quad (4) $$
設y=y(x)為曲線的運動方程，質點沿着該曲線從A點運動到B點。質點的運動速度可表示為：
$$ v = \frac{ds}{dt} = \sqrt{1+y'^2} \frac{dx}{dt} \quad \quad (5) $$
由式(4)、(5)消去v並積分，得質點沿曲線從A點滑行到B點所需的時間為:
$$ T=\int_0^{x_1} \sqrt{\frac{1+y'^2}{2gy}}dx $$
該方程的最終解析式表示該問題的答案中的曲線是擺線（也叫滾輪線或旋輪線），非常讓人一種着迷的曲線。但如何解這個方程我並不會...其涉及到求泛函問題的，使用的方法就是變分法，由於我太菜，基礎知識儲備不夠，暫時還會解。。。
最后，說一點該問題的小故事：最早提出該問題的是伽利略。一開始伽利略猜測答案是圓，但沒能證明，從現在來看是當然的，那時候微積分還沒得到發展嘛...后來1696年約翰伯努利在一封寫給他哥哥雅克比伯努利（向伯努利家族低頭orz）公開信中再次提出該問題，引起當時的數學家們的熱議和研究，我個人聽說實際上是專門向牛頓提出的挑戰，考驗牛頓的微積分水平。。。結果當時牛頓收到消息時已經過了大半年，但牛頓立刻就回家開始研究，花了一下午解決了問題，雖然消息來得晚，但牛頓卻是提出問題后第一個解決該問題的orz。。。后來陸陸續續有一些著名的數學家都證明出來了，其中有萊布尼茨、洛必達等。這個問題標志着變分法基礎的開始，后來該問題得到了歐拉、拉格朗日等著名的數學家的工作，發展出了變分法這門學科。
其他參考文獻：
1.https://en.wikipedia.org/wiki/Brachistochrone_curve
2.https://en.wikipedia.org/wiki/Calculus_of_variations
3.https://baike.baidu.com/item/%E5%8F%98%E5%88%86%E6%B3%95/83603?fr=aladdin
4.https://baike.baidu.com/item/%E6%91%86%E7%BA%BF/5893005?fr=aladdin
5.https://baike.baidu.com/item/%E6%B5%8B%E5%9C%B0%E7%BA%BF/2391217?fr=aladdin