各種被整除的數的特征（放在這里以備以后查閱方便）
（1）被2整除的數的特征：一個整數的末位是偶數（0、2、4、6、8）的數能被2整除。
（2）被3整除的數的特征：一個整數的數字和能被3整除，則這個數能被3整除。
（3）被4整除的數的特征：一個整數的末尾兩位數能被4整除則這個數能被4整除。可以這樣快速判斷：最后兩位數，要是十位是單數，個位就是2或6，要是十位是雙數，個位就是0、4、8。
（4）被5整除的數的特征：一個整數的末位是0或者5的數能被5整除。
（5）被6整除的數的特征：一個整數能被2和3整除，則這個數能被6整除。
（6）被7整除的數的特征：“割減法”。若一個整數的個位數字截去，再從余下的數中，減去個位數的2倍，這樣，一次次下去，直到能清楚判斷為止，如果差是7的倍數（包括0），則這個數能被7整除。過程為：截尾、倍大、相減、驗差。
例如，判斷133是否7的倍數的過程如下：13－3×2＝7，所以133是7的倍數；又例如判斷6139是否7的倍數的過程如下：613－9×2＝595 ， 59－5×2＝49，所以6139是7的倍數，余類推。
（7）被8整除的數的特征：一個整數的未尾三位數能被8整除，則這個數能被8整除。
（8）被9整除的數的特征：一個整數的數字和能被9整除，則這個數能被9整除。
（9）被10整除的數的特征：一個整數的末位是0，則這個數能被10整除。
（10）被11整除的數的特征：“奇偶位差法”。一個整數的奇位數字之和與偶位數字之和的差是11的倍數（包括0），則這個數能被11整除。（隔位和相減）
例如，判斷491678能不能被11整除的過程如下：奇位數字的和9+6+8=23，偶位數位的和4+1+7=12。23-12=11。因此491678能被11整除。
（11）被12整除的數的特征：一個整數能被3和4整除，則這個數能被12整除。
（12）被13整除的數的特征：若一個整數的個位數字截去，再從余下的數中，加上個位數的4倍，這樣，一次次下去，直到能清楚判斷為止，如果是13的倍數（包括0），則這個數能被13整除。過程為：截尾、倍大、相加、驗差。
（13）被17整除的數的特征：若一個整數的個位數字截去，再從余下的數中，減去個位數的5倍，這樣，一次次下去，直到能清楚判斷為止，如果差是17的倍數（包括0），則這個數能被17整除。過程為：截尾、倍大、相減、驗差。
（14）被19整除的數的特征：若一個整數的個位數字截去，再從余下的數中，加上個位數的2倍，這樣，一次次下去，直到能清楚判斷為止，如果是19的倍數（包括0），則這個數能被19整除。過程為：截尾、倍大、相加、驗差。
（15）被7、11、13 整除的數的共同特征：若一個整數的末3位與末3位以前的數字所組成的數之差（以大減小）能被7、11、13 整除，則這個數能被7、11、13 整除。
例如：128114，由於128-114=14，14是7的倍數，所以128114能被7整除。64152，由於152-64=88，88是11的倍數，所以64152能被11整除。94146，由於146-94=52，52是13的倍數，所以94146能被13整除。
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另外一篇：
整除原理
一、數的整除的特征
（1）1與0的特性：
1是任何整數的約數，即對於任何整數a，總有1|a.
0是任何非零整數的倍數，a≠0,a為整數，則a|0.
（2）若一個整數的末位是0、2、4、6或8，則這個數能被2整除。
（3）若一個整數的數字和能被3整除，則這個整數能被3整除。
(4) 若一個整數的末尾兩位數能被4整除，則這個數能被4整除。
（5）若一個整數的末位是0或5，則這個數能被5整除。
（6）若一個整數能被2和3整除，則這個數能被6整除。
（7）若一個整數的個位數字截去，再從余下的數中，減去個位數的2倍，如果差是7的倍數，則原數能被7整除。如果差太大或心算不易看出是否7的倍數，就需要繼續上述「截尾、倍大、相減、驗差」的過程，直到能清楚判斷為止。例如，判斷133是否7的倍數的過程如下：13－3×2＝7，所以133是7的倍數；又例如判斷6139是否7的倍數的過程如下：613－9×2＝595 ， 59－5×2＝49，所以6139是7的倍數，余類推。
（8）若一個整數的未尾三位數能被8整除，則這個數能被8整除。
（9）若一個整數的數字和能被9整除，則這個整數能被9整除。
（10）若一個整數的末位是0，則這個數能被10整除。
（11）若一個整數的奇位數字之和與偶位數字之和的差能被11整除，則這個數能被11整除。11的倍數檢驗法也可用上述檢查7的「割尾法」處理！過程唯一不同的是：倍數不是2而是1！
（12）若一個整數能被3和4整除，則這個數能被12整除。
（13）若一個整數的個位數字截去，再從余下的數中，加上個位數的4倍，如果差是13的倍數，則原數能被13整除。如果差太大或心算不易看出是否13的倍數，就需要繼續上述「截尾、倍大、相加、驗差」的過程，直到能清楚判斷為止。
（14）若一個整數的個位數字截去，再從余下的數中，減去個位數的5倍，如果差是17的倍數，則原數能被17整除。如果差太大或心算不易看出是否17的倍數，就需要繼續上述「截尾、倍大、相減、驗差」的過程，直到能清楚判斷為止。
（15）若一個整數的個位數字截去，再從余下的數中，加上個位數的2倍，如果差是19的倍數，則原數能被19整除。如果差太大或心算不易看出是否19的倍數，就需要繼續上述「截尾、倍大、相加、驗差」的過程，直到能清楚判斷為止。
（16）若一個整數的末三位與3倍的前面的隔出數的差能被17整除，則這個數能被17整除。
（17）若一個整數的末三位與7倍的前面的隔出數的差能被19整除，則這個數能被19整除。
（18）若一個整數的末四位與前面5倍的隔出數的差能被23(或29)整除，則這個數能被23整除
（19）最末兩位是25的倍數（00、25、50、75）
任何一個正整數都具有100A+b的形式，其中A是自然數、b是兩位的自然數。
因為100A+b=25*4A+b.25*4A是25的倍數，如果b是25的倍數，它們的和（原數）就是25的倍數。如果不是25的倍數，那么兩項的和（原數），就不是25的倍數。而兩位數中只且只有00、25、50、75是25的倍數。
二、判斷一個數能否被7整除，有兩種方法：
①割尾法：
若一個整數的個位數字截去，再從余下的數中，減去個位數的2倍，如果差是7的倍數，則原數能被7整除。如果差太大或心算不易看出是否7的倍數，就需要繼續上述「截尾、倍大、相減、驗差」的過程，直到能清楚判斷為止。例如，判斷133是否7的倍數的過程如下：13－3×2＝7，所以133是7的倍數；又例如判斷6139是否7的倍數的過程如下：613－9×2＝595 ， 59－5×2＝49，所以6139是7的倍數，余類推。
割尾法：
證明過程：
設p=a1+a2*10+a3*10^2+...+a(n-1)*10^(n-1)+an*10^n
q=a2+a3*10+...+a(n-1)*10^(n-2)+an*10^(n-1)-2a1
2p+q=21(a2+a3*10+...+an*10^(n-1))
又因為21=7*3，所以若p是7的倍數,那么可以得到q是7的倍數
②末三法：
這個數的末三位數與末三位以前的數字所組成的數之差（反過來也行）能被7、11、13整除。這個數就能被7、11、13整除。
例如：1005928
末三位數：928，末三位之前：1005 1005-928=77
因為7 | 77，所以7|1005928
末三法，簡略證明：
設一個數為ABCDEF=ABC×1000+DEF=ABC×1001-ABC+DEF=ABC×7×13×11-(ABC-DEF),由此可見只要ABC-DEF能被7整除，則ABCDEF能被7整除。
三、能被11整除的數的特征
把一個數由右邊向左邊數,將奇位上的數字與偶位上的數字分別加起來,再求它們的差,如果這個差是11的倍數(包括0),那么,原來這個數就一定能被11整除.
例如:判斷491678能不能被11整除.
—→奇位數字的和9+6+8=23
—→偶位數位的和4+1+7=12 23-12=11
因此,491678能被11整除.
這種方法叫"奇偶位差法".
除上述方法外,還可以用割減法進行判斷.即:從一個數里減去11的10倍,20倍,30倍……到余下一個100以內的數為止.如果余數能被11整除,那么,原來這個數就一定能被11整除.
又如:判斷583能不能被11整除.
用583減去11的50倍(583-11×50=33)余數是33, 33能被11整除,583也一定能被11整除.