一、點估計量
點估計量是通過最具代表性的樣本，對總體參數給出的最佳估計。點估計量是有價值的，但總會存在誤差。
二、置信區間
讓總體參數介於a和b之間，使得該區間包含總體參數的概率為p。即：P(a<參數<b) = p
我們用(a,b)表示這個區間，(a,b)稱為置信區間，p稱為置信水平。
那么如何求總體參數的置信區間呢？
三、求解置信區間的四步驟
- 選擇總體統計量（用於構建置信區間）
- 求出其抽樣分布
- 決定置信水平
- 求出置信區間上下限
step 1 選擇總體統計量
選擇用於構建置信區間的統計量，取決於要解決的實際問題，通常是總體均值和比例。
實例：某公司需要為口香糖口味持續時間的均值構建置信區間，於是需要為總體均值𝓊構建置信區間，已知n=100,
=25,
= 62.7。
step 2 求的所選統計量的抽樣分布
需要知道所選統計量的抽樣分布，期望方差及分布情況，代入除所選統計量外已知參數。
實例：樣本均值抽樣分布 E(
) = 𝓊 Var() = 
/n，為求出𝓊的置信區間，代入總體方差數值和樣本大小n，然后利用的分布求出置信區間。
若不知道總體方差，可通過點估計量估計，
= 。最后需要明確分布情況，這里假定X~N(𝓊，)，那么也符合正態分布。
step 3 決定置信水平
置信水平越高，區間越寬，置信區間包含總體統計量的幾率越大，但把置信區間弄得太寬的問題會導致置信區間失去意義。
實例：選取置信水平為95%。
step 4 求出置信區間上下限
由於符合正態分布，所以我們可以利用正態分布求置信區間，算出標准分，查詢標准正態分布概率表，得出結果。
實例：已知~N(𝓊，0.25)
則 
，其中Z~N(0,1) 。然后需要利用標准正態分布表求出Za和Zb，其中P(Z<Za) = 0.025且P(Z>Zb) = 0.0255，Za = -1.96，Zb = 1.96。
所以，-1.96<(-𝓊)/0.5<1.96，-0.98<𝓊<+0.98, 取 = 62.7,置信區間為(61.72,63.68)。
結論：(61.72,63.68)中包含口味持續時間總體均值的幾率為95%。
四、置信區間簡便算法
| 總體統計量 | 總體分布 | 已知條件 | 置信區間 |
| 𝓊（總體均值） | 正態 |
n可大可小
|
（ , ） |
| 𝓊 | 非正態 |
n很大（至少30）
|
（,） |
| 𝓊 | 正態或非正態 |
n很大（至少30）
|
( , ) |
| p（總體比例） | 二項 | n很大 Ps為樣本比例 qs= 1 - Ps |
( , |
置信區間：統計量+-（誤差范圍）。誤差范圍 = c * （統計量標准差）。c值通過置信水平得到，當置信水平為95%時，c = 1.96。
五、 t分布
上述情況中，樣本統計量（均值和比例）服從正態分布，但並非任何情況都能用正態分布。
當總體X符合正態分布時，一定符合正態分布嗎？
答案是不一定，當總體分布為正態分布，但樣本量小且未知時，不符合正態分布。實際上，在此情況下，符合t分布。
t分布外形與正態分布相似，T~t(v) 則T符合t分布且自由度為v,v = n-1,n為樣本大小。
t分布使用方法與正態分布相似，計算標准分，先減去均值然后除以標准差。
t分布的標准分：
,其中 = 。
t分布置信區間：（
，
）,其中t通過置信水平和t分布表確定。
對於總體均值估計，樣本n很大時，樣本均值分布服從正態分布。
當n不大時，若總體服從正態分布且總體方差已知，樣本均值分布服從正態分布。
當n不大時，若總體服從正態分布且總體方差未知，樣本均值分布服從t分布。
2020.05.14 15：20