實驗目的
掌握動態規划算法和最短路徑求法，利用最短路徑知識結合實際問題建立數學模型。
實驗要求
實驗步驟要有模型建立，模型求解、結果分析。
實驗內容
（1）某公司在六個城市C1,C2,C3,C4,C5,C6中都有分公司，從Ci到Cj的直達航班票價由下述矩陣的第i行、第j列元素給出（∞表示無直達航班），該公司想算出一張任意兩個城市之間最廉價路線表，試作出這樣的表來
（2）求圖5-28中每一結點到其他結點的最短路
（3）一只狼、一只羊和一筐白菜在河的一岸，一個擺渡人想把它們渡過河去，但是由於他的船很小，每次只能帶走它們之中的一樣，由於明顯的原因，狼和羊或者羊和白菜在一起需要人看守，問擺渡人怎樣把它們渡過河去？
實驗步驟
（1）解：該公司想算出一張任意兩個城市之間最廉價路線表，可把這個路線表抽象成一副帶權的無向圖，於是問題等價於求每對頂點之間最短的問題。本題使用Floyd算法，用MATLAB編程求解
首先，編寫floyd.m文件，代碼如下，
1 %Floyd算法——每對頂點間的最短路徑算法 2 %輸入：帶權鄰接矩陣w(i,j). 3 %輸出：距離矩陣D(i,j),R(i,j) 4 function [d,r]=floyd(w) 5 [m,n]=size(w); 6 if n~=m 7 error('輸入的鄰接矩陣行數不等於列數！！！'); 8 end 9 %預分配內存空間 10 d=zeros(n,n); 11 r=zeros(n,n); 12 %賦初值 13 for i=1:n 14 for j=1:n 15 d(i,j)=w(i,j); 16 r(i,j)=j; 17 end 18 end 19 k=1; 20 %更新d,r 21 while k<=n 22 for i=1:n 23 for j=1:n 24 if d(i,k)+d(k,j)<d(i,j) 25 d(i,j)=d(i,k)+d(k,j); 26 r(i,j)=r(i,k); 27 end 28 end 29 end 30 k=k+1; 31 end 32 end
求解，
為了直觀看出最廉價的線路表，這里編程輸出，
1 % DisplayPath.m 打印路徑函數 2 function DisplayPath(d,r) 3 % 打印出任意兩點之間的最短路徑 4 % route : 路由表 5 % start : 起點index 6 % dest : 終點index 7 [m,n]=size(r); 8 if(n~=m) 9 error('輸入的路徑矩陣有誤！！！'); 10 end 11 for i=1:n 12 for j=i:n 13 if i~=j 14 start=i; 15 dest=j; 16 % fprintf('V%d->V%d\t%d$\t\t',i,j,d(i,j));%例題1 17 fprintf('V%d->V%d\t%d\t\t',i,j,d(i,j)); 18 while 1 19 if(r(start, dest) ~= dest) 20 fprintf('V%s -> ', num2str(start)); 21 start = r(start, dest); 22 else 23 fprintf('V%s -> ', num2str(start)); 24 fprintf('V%s\n', num2str(dest)); 25 break; 26 end 27 end 28 end 29 end 30 end
運行示例，
所以，任意兩城市之間最廉價的線路表如下：
| 序號 |
始（終） |
終（始） |
線路 |
票價 |
| 1 |
C1 |
C2 |
1→6→2 |
35 |
| 2 |
C1 |
C3 |
1→5→3，1→6→4→3 |
45 |
| 3 |
C1 |
C4 |
1→6→4，1→5→4 |
35 |
| 4 |
C1 |
C5 |
1→5 |
25 |
| 5 |
C1 |
C6 |
1→6 |
10 |
| 6 |
C2 |
C3 |
2→3 |
15 |
| 7 |
C2 |
C4 |
2→4 |
20 |
| 8 |
C2 |
C5 |
2→4→5 |
30 |
| 9 |
C2 |
C6 |
2→6 |
25 |
| 10 |
C3 |
C4 |
3→4 |
10 |
| 11 |
C3 |
C5 |
3→4→5,3→5 |
20 |
| 12 |
C3 |
C6 |
3→4→6 |
35 |
| 13 |
C4 |
C5 |
4→5 |
10 |
| 14 |
C4 |
C6 |
4→6 |
25 |
| 15 |
C5 |
C6 |
5→1→6，5→4→6 |
35 |
（2）解：每一結點到其他結點的最短路，同樣使用Floyd算法，MATLAB求解。解得，
（3）解：設狼：1，菜：2，羊：3，人：4。
方法1：
不安全的組合：13，23，123；題目要求轉移方案為安全，所以同樣不能出現的組合：24，14，4。已知安全的組合：1234，12，34，1，2，3；
人的轉移設定可在河中來回（但是只能搭載一樣），
由上述分析可知，因為河中只能出現2位和1位（當且僅當對岸的組合是12：3時，人才能獨自在河中出現）的組合，第1趟轉移的安全組合：12和34；這兩個組合中只有34有人也就是說，第一趟轉移為：
第二趟轉移的關鍵是當人在回航時如果是獨自回來的話，那么對岸的情況就是13或23，都是不安全狀態，那么只能在回航時帶回羊（3）了（因為不帶回羊的話，只能帶回剛運過去的，這就徒勞無功了）（有兩種情況）：
……
只討論左圖的情況（右圖以此類推），顯然第3趟是把1移過對岸（因為3才運回出發點，並且把1移過去是安全的）：
顯然，第4趟轉移是把3轉移過去，從而完美解決題目要求：
綜上所述，安全可行（沒有多余的無用功）的轉移方案有兩個，都是4趟轉移：
方案1，第一趟：去（羊人），回（人）；第二趟：去（狼人），回（羊人）；第三趟：去（菜人），回（人）；第四趟：去（羊人）。
方案2，第一趟：去（羊人），回（人）；第二趟：去（菜人），回（羊人）；第三趟：去（狼人），回（人）；第四趟：去（羊人）。
方法2：
由組合學知識，
1位組合：1，2，3，4；
2位組合：12，13，14，23，24，34；
3位組合：123，124，134，234；
4位組合：1234。
其中不允許：123，13，23，4，14，24；因此共有10個允許狀態，轉移關系狀態圖如下，
問題歸結為求頂點1234到頂點0的最短路，將上圖改畫為下面形式：
由上圖可知，有兩種過河方案且等優，如先將羊帶到對岸，再將狼帶到對岸同時把羊帶回原處，將白菜帶到對岸，最后把羊帶過去。
小結
在編寫Floyd程序時，筆者在while循環那里的k值的約束寫成了（k<n），運行之后怎么也得不到筆者想要的結果。筆者數次懷疑自己對路徑矩陣是不是理解錯誤了。於是，筆者回看了路徑矩陣的數學知識，后來實在忍不住筆者就開始一點一點地修改。在修改2個語句后，突然覺得，是不是循環的條件除了問題，果然是的。后來筆者編寫了路徑矩陣的輸出，發現並不能把同一路線的所有情況輸出，可看題1的表，是否有更好的輸出算法呢？
附錄
【1】最短路問題（1） zlc