單源最短路Dijkstra算法——matlab實現

迪傑斯特拉(Dijkstra)算法是典型最短路徑算法，用於計算一個節點到其他節點的最短路徑。 
它的主要特點是以起始點為中心向外層層擴展(廣度優先搜索思想)，直到擴展到終點為止。

基本思想

     通過Dijkstra計算圖G中的最短路徑時，需要指定起點s(即從頂點s開始計算)。

     此外，引進兩個集合S和U。S的作用是記錄已求出最短路徑的頂點(以及相應的最短路徑長度)，而U則是記錄還未求出最短路徑的頂點(以及該頂點到起點s的距離)。

     初始時，S中只有起點s；U中是除s之外的頂點，並且U中頂點的路徑是"起點s到該頂點的路徑"。然后，從U中找出路徑最短的頂點，並將其加入到S中；接着，更新U中的頂點和頂點對應的路徑。 然后，再從U中找出路徑最短的頂點，並將其加入到S中；接着，更新U中的頂點和頂點對應的路徑。 ... 重復該操作，直到遍歷完所有頂點。

操作步驟

(1) 初始時，S只包含起點s；U包含除s外的其他頂點，且U中頂點的距離為"起點s到該頂點的距離"[例如，U中頂點v的距離為(s,v)的長度，然后s和v不相鄰，則v的距離為∞]。

(2) 從U中選出"距離最短的頂點k"，並將頂點k加入到S中；同時，從U中移除頂點k。

(3) 更新U中各個頂點到起點s的距離。之所以更新U中頂點的距離，是由於上一步中確定了k是求出最短路徑的頂點，從而可以利用k來更新其它頂點的距離；例如，(s,v)的距離可能大於(s,k)+(k,v)的距離。

(4) 重復步驟(2)和(3)，直到遍歷完所有頂點。

 

MATLAB代碼實現如下：

function [mydistance,mypath]=mydijkstra(a,sb,db);
% 輸入：a—鄰接矩陣(aij)是指i到j之間的距離，可以是有向的
% sb—起點的標號, db—終點的標號
% 輸出：mydistance—最短路的距離, mypath—最短路的路徑
n=size(a,1); visited(1:n) = 0;
distance(1:n) = inf; % 保存起點到各頂點的最短距離
distance(sb) = 0; parent(1:n) = 0;
for i = 1: n-1
temp=distance;
id1=find(visited==1); %查找已經標號的點
temp(id1)=inf; %已標號點的距離換成無窮
[t, u] = min(temp); %找標號值最小的頂點
visited(u) = 1; %標記已經標號的頂點
id2=find(visited==0); %查找未標號的頂點
for v = id2
if a(u, v) + distance(u) < distance(v)
distance(v) = distance(u) + a(u, v); %修改標號值
parent(v) = u;
end
end
end
mypath = [];
if parent(db) ~= 0 %如果存在路!
t = db; mypath = [db];
while t ~= sb
p = parent(t);
mypath = [p mypath];
t = p;
end
end
mydistance = distance(db);
return