今天是算法數據結構專題的第34篇文章，我們來繼續聊聊最短路算法。
在上一篇文章當中我們講解了bellman-ford算法和spfa算法，其中spfa算法是我個人比較常用的算法，比賽當中幾乎沒有用過其他的最短路算法。但是spfa也是有缺點的，我們之前說過它的復雜度是 ，這里的E是邊的數量。但有的時候邊的數量很多，E最多能夠達到 ，這會導致超時，所以我們會更換其他的算法。這里說的其他的算法就是Dijkstra。
算法思想
在上一篇文章當中我們曾經說過Bellman-ford算法本質上其實是動態規划算法，我們的狀態就是每個點的最短距離，策略就是可行的邊，由於一共最多要松弛V-1次，所以整體的算法復雜度很高。當我們用隊列維護可以松弛的點之后，就將復雜度降到了 ，也就是spfa算法。
Dijkstra算法和Bellman-ford算法雖然都是最短路算法，但是核心的邏輯並不相同。Dijkstra算法的底層邏輯是貪心，也可以理解成貪心算法在圖論當中的使用。
其實Dijstra算法和Bellman-ford算法類似，也是一個松弛的過程。即一開始的時候除了源點s之外，其他的點的距離都設置成無窮大，我們需要遍歷這張圖對這些距離進行松弛。所謂的松弛也就是要將這些距離變小。假設我們已經求到了兩個點u和v的距離，我們用dis[u]表示u到s的距離，dis[v]表示v的距離。
假設我們有dis[u] < dis[v]，也就是說u離s更近，那么我們接下來要用一個新的點去搜索松弛的可能，u和v哪一個更有可能獲得更好的結果呢？當然是u，所以我們選擇u去進行新的松弛，這也就是貪心算法的體現。如果這一層理解了，算法的整個原理也就差不多了。
我們來整理一下思路來看下完整的算法流程：
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我們用一個數組dis記錄源點s到其他點的最短距離，起始時dis[s] = 0，其他值設為無窮大 -
我們從未訪問過的點當中選擇距離最小的點u，將它標記為已訪問 -
遍歷u所有可以連通的點v，如果dis[v] < dis[u] + l[u] [v]，那么更新dis[v] -
重復上述2，3兩個步驟，直到所有可以訪問的點都已經訪問過
怎么樣，其實核心步驟只有兩步，應該很好理解吧？我找到了一張不錯的動圖，大家可以根據上面的流程對照一下動圖加深一下理解。
我們根據原理不難寫出代碼：
INF = sys.maxsize
edges = [[]] # 鄰接表存儲邊
dis = [] # 記錄s到其他點的距離
visited = {} # 記錄訪問過的點
while True:
mini = INF
u = 0
flag = False
# 遍歷所有未訪問過點當中距離最小的
for i in range(V):
if i not in visited and dis[i] < mini:
mini, u = dis[i], i
flag = True
# 如果沒有未訪問的點，則退出
if not flag:
break
visited[u] = True
for v, l in edges[u]:
dis[v] = min(dis[v], dis[u] + l)
雖然我們已經知道算法沒有反例了，但是還是可以思考一下。主要的點在於我們每次都選擇未訪問的點進行松弛，有沒有可能我們松弛了一個已經訪問的點，由於它已經被松弛過了，導致后面沒法拿來松弛其他的點呢？
其實是不可能的，因為我們每次選擇的都是距離最小的未訪問過的點。假設當前的點是u，我們找到了一個已經訪問過的點v，是不可能存在dis[u] + l < dis[v]的，因為dis[v]必然要小於dis[u]，v才有可能先於u訪問。但是這有一個前提，就是每條邊的長度不能是負數。
算法優化
和Bellman-ford算法一樣，Dijkstra算法最大的問題同樣是復雜度。我們每次選擇一個點進行松弛，選擇的時候需要遍歷一遍所有的點，顯然這是非常耗時的。復雜度應該是 ，這里的E是邊的數量，Dijkstra中每個點只會松弛一次，也就意味着每條邊最多遍歷一次。
我們觀察一下會發現，外面這層循環也就算了，里面這層循環很沒有必要，我們只是找了一個最值而已。完全可以使用數據結構來代替循環查詢，維護最值的場景我們也已經非常熟悉了，當然是使用優先隊列。
使用優先隊列之后這段代碼會變得非常簡單，同樣也不超過十行，為了方便同學們調試，我把連帶優先隊列實現的代碼一起貼上來。
import heapq
import sys
# 優先隊列
class PriorityQueue:
def __init__(self):
self._queue = []
self._index = 0
def push(self, item, priority):
# 傳入兩個參數，一個是存放元素的數組，另一個是要存儲的元素，這里是一個元組。
# 由於heap內部默認由小到大排，所以對priority取負數
heapq.heappush(self._queue, (-priority, self._index, item))
self._index += 1
def pop(self):
return heapq.heappop(self._queue)[-1]
def empty(self):
return len(self._queue) == 0
que = PriorityQueue()
INF = sys.maxsize
edges = [[], [[2, 7], [3, 9], [6, 14]], [[1, 7], [3, 10], [4, 15]], [[1, 9], [2, 10], [6, 2], [4, 11]], [[3, 11], [5, 6]], [[4, 6], [6, 9]], [[3, 2], [5, 9]]] # 鄰接表存儲邊
dis = [sys.maxsize for _ in range(8)] # 記錄s到其他點的距離
s = 1
que.push(s, 0)
dis[s] = 0
visited = {}
while not que.empty():
u = que.pop()
if u in visited:
continue
visited[u] = True
for v, l in edges[u]:
if v not in visited and dis[u] + l < dis[v]:
dis[v] = dis[u] + l
que.push(v, dis[v])
print(dis)
這里用visited來判斷是否之前訪問過的主要目的是為了防止負環的產生，這樣程序會陷入死循環，如果確定程序不存在負邊的話，其實可以沒必要判斷。因為先出隊列的一定更優，不會存在之后還被更新的情況。如果想不明白這點加上判斷也沒有關系。
我們最后分析一下復雜度，每個點最多進入隊列一次，加上優先隊列的調整耗時，整體的復雜度是 ，比之前 的復雜度要提速了很多，非常適合邊很多，點相對較少的圖。有時候spfa卡時間了，我們會選擇Dijkstra。
今天的文章到這里就結束了，如果喜歡本文的話，請來一波素質三連，給我一點支持吧（關注、轉發、點贊）。
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