matlab練習程序（單源最短路徑Dijkstra）

圖的相關算法也算是自己的一個軟肋了，當年沒選修圖論也是一大遺憾。

圖像處理中，也有使用圖論算法作為基礎的相關算法，比如圖割，這個算法就需要求最大流、最小割。所以熟悉一下圖論算法對於圖像處理還是很有幫助的。

Dijkstra和Bellman-Ford類似，都是解決單源最短路徑問題，不同的是這個方法只能解決邊為非負的問題，實現的好的Dijkstra算法運行時間要快於Bellman-ford。

算法步驟如下：

1.首先設置隊列，所有節點入列，源節點值為0，其他節點值為無窮。

2.然后在隊列中找值最小的節點並出列。

3.計算出列的節點所有后繼節點的距離。

4.松弛方法，如果新計算的距離小於上次計算的距離，那么更新距離，即將后繼節點值設為較小的距離，並將后繼節點的前趨設為當前的出列節點。

5.對剩余的節點隊列繼續找最小值並出列，不斷循環2、3、4步直到隊列中沒有節點了。

步驟是上面沒錯，不過我程序中沒有完全按照上述的步驟實現。不同的地方在於我沒有做出列操作，而是通過標記節點的形式實現的。

運行結果如下，圖（是圖不是圖片）是算法導論367頁上的：

matlab代碼如下，netplot和compresstable2matrix和上一篇使用的一樣：

main.m

clear all;close all;clc
%初始化鄰接壓縮表，1 2 10 表示從節點1到節點2，邊的權重為10
b=[1 2 10;1 4 5;2 3 1;
   2 4 2; 3 5 4;4 2 3;
   4 3 9; 4 5 2;5 1 7;
   5 3 6];

m=max(max(b(:,1:2)));       %壓縮表中最大值就是鄰接矩陣的寬與高
A=compresstable2matrix(b);  %從鄰接壓縮表構造圖的矩陣表示
netplot(A,1)                %形象表示

S=inf(1,m);         %從開始的源點到每一個節點的距離
S(1)=0;             %源點到自己的距離為0
pa=zeros(1,m);      %存儲每個節點的前驅，在松弛過程中賦值
pa(1)=1;　　　　　　　%源點的前趨是自己　

visit=zeros(1,m);   %標記某個節點是否訪問過了
index=1;            %從index節點開始搜索        

%判斷是否對所有節點都找的最短路徑了。可能會有源點沒有路徑到目標節點的情況，那就無限循環了
while sum(visit)~=m    %沒有出隊列操作，不過通過visit來等價的表示了
    
    visit(index)=1;                     %標記第index節點為已入列的節點
    [S pa]=relax(S,pa,A,visit,index,m);         %松弛，如果兩個節點間有更短的距離，則用更短的距離
    index=extract_min(S,visit,index,m); %使用已訪問的最小的節點作為下一次搜索的開始節點  

end
%最終我們需要的就是這兩個值
S       %源點到其他每一點的距離
pa      %其他每一節點的前趨

%算法到此結束，下面只是為了形象的表示而寫的。
re=[];
for i=2:m
    re=[re;pa(i) i A(pa(i),i)];
end
A=compresstable2matrix(re);  %從鄰接壓縮表構造圖的矩陣表示
figure;
netplot(A,1)                %形象表示

relax.m

%邊緣松弛，使用更短的距離作為節點的值
function [S pa]=relax(S,pa,A,visit,index,m)
   
   i=index;
   for j=1:m
        if A(i,j)~=inf && visit(j)~=1   %搜索沒有標記過的節點
            if S(j)>S(i)+A(i,j)         %將較小的值賦給正在搜尋的節點
                S(j)=S(i)+A(i,j);
                pa(j)=i;
            end
        end        
    end    

end

extract_min.m

%提取隊列中尚未標記的最小的值的序號
function index=extract_min(S,visit,index,m)

    Mi=inf;
    for j=1:m
        if visit(j)~=1
           if S(j)<Mi
                Mi=S(j);
                index=j;
           end
        end
    end    

end