定義
所謂最短路徑問題是指：如果從圖中某一頂點（源點）到達另一頂點（終點）的路徑可能不止一條，如何找到一條路徑使得沿此路徑上各邊的權值總和（稱為路徑長度）達到最小。
下面我們介紹兩種比較常用的求最短路徑算法：
Dijkstra（迪傑斯特拉）算法
他的算法思想是按路徑長度遞增的次序一步一步並入來求取，是貪心算法的一個應用，用來解決單源點到其余頂點的最短路徑問題。
算法思想
首先，我們引入一個輔助向量D，它的每個分量D[i]表示當前找到的從起始節點v到終點節點vi的最短路徑的長度。它的初始態為：若從節點v到節點vi有弧，則D[i]為弧上的權值，否則D[i]為∞，顯然，長度為D[j] = Min{D[i] | vi ∈V}的路徑就是從v出發最短的一條路徑，路徑為(v, vi)。
那么，下一條長度次短的最短路徑是哪一條呢？假設次短路徑的終點是vk，則可想而知，這條路徑或者是(v, vk)或者是(v, vj, vk)。它的長度或者是從v到vk的弧上的權值，或者是D[j]和從vj到vk的權值之和。
因此下一條次短的最短路徑的長度是：D[j] = Min{D[i] | vi ∈ V - S}，其中，D[i]或者是弧(v, vi)的權值，或者是D[k](vk ∈ S)和弧(vk, vi)上權值之和。
算法描述
假設現要求取如下示例圖所示的頂點V0與其余各頂點的最短路徑：
我們使用Guava的ValueGraph作為該圖的數據結構，每個頂點對應一個visited變量來表示節點是在V中還是在S中，初始時S中只有頂點V0。然后，我們看看新加入的頂點是否可以到達其他頂點，並且看看通過該頂點到達其他點的路徑長度是否比從V0直接到達更短,如果是，則修改這些頂點的權值(即if (D[j] + arcs[j][k] < D[k]) then D[k] = D[j] + arcs[j][k])。然后又從{V - S}中找最小值，重復上述動作，直到所有頂點都並入S中。
第一步，我們通過ValueGraphBuilder構造圖的實例，並輸入邊集：
MutableValueGraph<String, Integer> graph = ValueGraphBuilder.directed()
.nodeOrder(ElementOrder.insertion())
.expectedNodeCount(10)
.build();
graph.putEdgeValue(V0, V2, 10);
graph.putEdgeValue(V0, V4, 30);
graph.putEdgeValue(V0, V5, 100);
graph.putEdgeValue(V1, V2, 5);
graph.putEdgeValue(V2, V3, 50);
graph.putEdgeValue(V3, V5, 10);
graph.putEdgeValue(V4, V3, 20);
graph.putEdgeValue(V4, V5, 60);
return graph;
初始輸出結果如下：
nodes: [v0, v2, v4, v5, v1, v3],
edges: {<v0 -> v5>=100, <v0 -> v4>=30, <v0 -> v2>=10,
<v2 -> v3>=50, <v4 -> v5>=60, <v4 -> v3>=20, <v1 -> v2>=5,
<v3 -> v5>=10}
為了不破壞graph的狀態，我們引入一個臨時結構來記錄每個節點運算的中間結果：
private static class NodeExtra {
public String nodeName; //當前的節點名稱
public int distance; //開始點到當前節點的最短路徑
public boolean visited; //當前節點是否已經求的最短路徑（S集合）
public String preNode; //前一個節點名稱
public String path; //路徑的所有途徑點
}
第二步，我們首先將起始點V0並入集合S中，因為他的最短路徑已知為0：
startNode = V0;
NodeExtra current = nodeExtras.get(startNode);
current.distance = 0; //一開始可設置開始節點的最短路徑為0
current.visited = true; //並入S集合
current.path = startNode;
current.preNode = startNode;
第三步，在當前狀態下找出起始點V0開始到其他節點路徑最短的節點：
NodeExtra minExtra = null; //路徑最短的節點信息
int min = Integer.MAX_VALUE;
for (String notVisitedNode : nodes) {
//獲取節點的輔助信息
NodeExtra extra = nodeExtras.get(notVisitedNode);
//不在S集合中，且路徑較短
if (!extra.visited && extra.distance < min) {
min = extra.distance;
minExtra = extra;
}
}
第四步，將最短路徑的節點並入集合S中：
if (minExtra != null) { //找到了路徑最短的節點
minExtra.visited = true; //並入集合S中
//更新其中轉節點路徑
minExtra.path = nodeExtras.get(minExtra.preNode).path + " -> " + minExtra.nodeName;
current = minExtra; //標識當前並入的最短路徑節點
}
第五步，更新與其相關節點的最短路徑中間結果：
/**
* 並入新查找到的節點后，更新與其相關節點的最短路徑中間結果
* if (D[j] + arcs[j][k] < D[k]) D[k] = D[j] + arcs[j][k]
*/
//只需循環當前節點的后繼列表即可(優化)
Set<String> successors = graph.successors(current.nodeName);
for (String notVisitedNode : successors) {
NodeExtra extra = nodeExtras.get(notVisitedNode);
if (!extra.visited) {
final int value = current.distance
+ graph.edgeValueOrDefault(current.nodeName,
notVisitedNode, 0); //D[j] + arcs[j][k]
if (value < extra.distance) { //D[j] + arcs[j][k] < D[k]
extra.distance = value;
extra.preNode = current.nodeName;
}
}
}
第六步，輸出起始節點V0到每個節點的最短路徑以及路徑的途徑點信息
Set<String> keys = nodeExtras.keySet();
for (String node : keys) {
NodeExtra extra = nodeExtras.get(node);
if (extra.distance < Integer.MAX_VALUE) {
Log.i(TAG, startNode + " -> " + node + ": min: " + extra.distance
+ ", path: " + extra.path); //path在運算過程中更新
}
}
實例圖的輸出結果為：
v0 -> v0: min: 0, path: v0
v0 -> v2: min: 10, path: v0 -> v2
v0 -> v3: min: 50, path: v0 -> v4 -> v3
v0 -> v4: min: 30, path: v0 -> v4
v0 -> v5: min: 60, path: v0 -> v4 -> v3 -> v5
具體Dijkstra算法的示例demo實現，請參考：