最短路徑問題-Dijkstra算法的python實現

迪傑斯特拉（Dijkstra）算法主要是針對沒有負值的有向圖，求解其中的單一起點到其他頂點的最短路徑算法。

1 算法原理

　　迪傑斯特拉（Dijkstra）算法是一個按照路徑長度遞增的次序產生的最短路徑算法。下圖為帶權值的有向圖，作為程序中的實驗數據。

　　

　　其中，帶權值的有向圖采用鄰接矩陣graph來進行存儲，在計算中就是采用n*n的二維數組來進行存儲，v0-v5表示數組的索引編號0-5，二維數組的值表示節點之間的權值，若兩個節點不能通行，比如，v0->v1不能通行，那么graph[0,1]=+∞ （采用計算機中最大正整數來進行表示）。那如何求解從v0每個v節點的最短路徑長度呢?

　　

　　首先，引進一個輔助數組cost，它的每個值cost[i]表示當前所找到的從起始點v0到終點vi的最短路徑的權值（長度花費），該數組的初態為：若從v0到vi有弧，則cost[i]為弧上的權值，否則置cost[i]為+∞ 。

　　顯然，長度為：cost[j]=Min_i(graph[0,i] | v_i in V) 的路徑就是從v0出發的長度最短的一條最短路徑。此路徑為(v_0,v_j) ，那么下次長度次短的路徑必定是弧(v_0,v_i)上的權值cost[i](v_i in V)，或者是cost[k](v_k in S)和弧(v_k,v_i)的權值之和。其中V：待求解最短路徑的節點j集合；S：已求解最短路徑的節點集合。

 

2 算法流程

　　根據上面的算法原理分析，下面描述算法的實現流程。

1. 初始化：初始化輔助數組cost，從v0出發到圖上其余節點v的初始權值為：cost[i]=graph[0,i]  |  v_i in V ；初始化待求節點S集合，它的初始狀態為始點，V集合，全部節點-始節點。

2. 選擇節點v_j ，使得cost[j]=Min ( cost[i] | v_i in V -S ) ，v_j  就是當前求的一條從v0出發的最短路徑的終點，修改S集合，使得 S=S + V_j ，修改集合V = V - V_j。

3. 修改從v0出發到節點V-S上任一頂點 v_k 可達的最短路徑，若cost[j]+graph[j,k]<cost[k] ，則修改cost[k]為：cost[k]=cost[j]+graph[j,k] 。

4. 重復操作2，3步驟，直到求解集合V中的所有節點為止。

　　其中最短路徑的存儲采用一個path整數數組，path[i]的值記錄vi的前一個節點的索引，通過path一直追溯到起點，就可以找到從vi到起始節點的最短路徑。比如起始節點索引為0，若path[3]=4, path[4]=0；那么節點v2的最短路徑為，v0->v4->v3。

3 算法實現

　　采用python語言對第2節中的算法流程進行實現，關鍵代碼如下。

3.1 最短路徑代碼

#!/bin/python
# -*- coding:utf-8 -*-

def dijkstra(graph, startIndex, path, cost, max):
    """
    求解各節點最短路徑，獲取path，和cost數組，
    path[i] 表示vi節點的前繼節點索引，一直追溯到起點。
    cost[i] 表示vi節點的花費
    """
    lenth = len(graph)
    v = [0] * lenth
    # 初始化 path，cost，V
    for i in range(lenth):
        if i == startIndex:
            v[startIndex] = 1
        else:
            cost[i] = graph[startIndex][i]
            path[i] = (startIndex if (cost[i] < max) else -1)
    # print v, cost, path
    for i in range(1, lenth):
        minCost = max
        curNode = -1
        for w in range(lenth):
            if v[w] == 0 and cost[w] < minCost:
                minCost = cost[w]
                curNode = w
        # for 獲取最小權值的節點
        if curNode == -1: break
        # 剩下都是不可通行的節點，跳出循環
        v[curNode] = 1
        for w in range(lenth):
            if v[w] == 0 and (graph[curNode][w] + cost[curNode] < cost[w]):
                cost[w] = graph[curNode][w] + cost[curNode] # 更新權值
                path[w] = curNode # 更新路徑
        # for 更新其他節點的權值（距離）和路徑
    return path

if __name__ == '__main__':
    max = 2147483647
    graph = [
        [max, max, 10, max, 30, 100],
        [max, max, 5, max, max, max],
        [max, max, max, 50, max, max],
        [max, max, max, max, max, 10],
        [max, max, max, 20, max, 60],
        [max, max, max, max, max, max],
        ]
    path = [0] * 6
    cost = [0] * 6
    print dijkstra(graph, 0, path, cost, max)

4 運行結果

[0, -1, 0, 4, 0, 3]