前言
Dijkstra算法是最短路徑算法中為人熟知的一種，是單起點全路徑算法。該算法被稱為是“貪心算法”的成功典范。本文接下來將嘗試以最通俗的語言來介紹這個偉大的算法，並賦予java實現代碼。
一、知識准備：
1、表示圖的數據結構
用於存儲圖的數據結構有多種，本算法中筆者使用的是鄰接矩陣。
圖的鄰接矩陣存儲方式是用兩個數組來表示圖。一個一維數組存儲圖中頂點信息，一個二維數組（鄰接矩陣）存儲圖中的邊或弧的信息。
設圖G有n個頂點，則鄰接矩陣是一個n*n的方陣，定義為：
從上面可以看出，無向圖的邊數組是一個對稱矩陣。所謂對稱矩陣就是n階矩陣的元滿足aij = aji。即從矩陣的左上角到右下角的主對角線為軸，右上角的元和左下角相對應的元全都是相等的。
從這個矩陣中，很容易知道圖中的信息。
（1）要判斷任意兩頂點是否有邊無邊就很容易了；
（2）要知道某個頂點的度，其實就是這個頂點vi在鄰接矩陣中第i行或（第i列）的元素之和；
（3）求頂點vi的所有鄰接點就是將矩陣中第i行元素掃描一遍，arc[i][j]為1就是鄰接點；
而有向圖講究入度和出度，頂點vi的入度為1，正好是第i列各數之和。頂點vi的出度為2，即第i行的各數之和。
有向圖的定義也類似，故不做贅述。
2、單起點全路徑
所謂單起點全路徑，就是指在一個圖中，從一個起點出發，到所有節點的最短路徑。
3、圖論的基本知識(讀者需自行尋找相關資料)
4、互補松弛條件
設標量d1,d2,....,dN滿足
dj<=di + aij, (i,j)屬於A,
且P是以i1為起點ik為終點的路，如果
dj = di + aij, 對P的所有邊(i, j)
成立，那么P是從i1到ik的最短路。其中，滿足上面兩式的被稱為最短路問題的互補松弛條件。
二、算法思想
1、令G = （V，E）為一個帶權無向圖。G中若有兩個相鄰的節點,i和j。aij(在這及其后面都表示為下標，請注意)為節點i到節點j的權值，在本算法可以理解為距離。每個節點都有一個值di(節點標記)表示其從起點到它的某條路的距離。
2、算法初始有一個數組V用於儲存未訪問節點的列表，我們暫稱為候選列表。選定節點1為起始節點。開始時，節點1的d1=0, 其他節點di=無窮大，V為所有節點。
初始化條件后，然后開始迭代算法，直到V為空集時停止。具體迭代步驟如下：
將d值最小的節點di從候選列表中移除。(本例中V的數據結構采用的是優先隊列實現最小值出列，最好使用斐波那契對，在以前文章有過介紹，性能有大幅提示)。對於以該節點為起點的每一條邊，不包括移除V的節點, (i, j)屬於A， 若dj > di + aij（違反松弛條件）,則令
dj = di + aij , （如果j已經從V中移除過，說明其最小距離已經計算出，不參與此次計算）
可以看到在算法的運算工程中，節點的d值是單調不增的
具體算法圖解如下
三、java代碼實現
public class Vertex implements Comparable<Vertex>{ /** * 節點名稱(A,B,C,D) */
private String name; /** * 最短路徑長度 */
private int path; /** * 節點是否已經出列(是否已經處理完畢) */
private boolean isMarked; public Vertex(String name){ this.name = name; this.path = Integer.MAX_VALUE; //初始設置為無窮大
this.setMarked(false); } public Vertex(String name, int path){ this.name = name; this.path = path; this.setMarked(false); } @Override public int compareTo(Vertex o) { return o.path > path?-1:1; } }
public class Graph { /* * 頂點 */
private List<Vertex> vertexs; /* * 邊 */
private int[][] edges; /* * 沒有訪問的頂點 */
private Queue<Vertex> unVisited; public Graph(List<Vertex> vertexs, int[][] edges) { this.vertexs = vertexs; this.edges = edges; initUnVisited(); } /* * 搜索各頂點最短路徑 */
public void search(){ while(!unVisited.isEmpty()){ Vertex vertex = unVisited.element(); //頂點已經計算出最短路徑，設置為"已訪問"
vertex.setMarked(true); //獲取所有"未訪問"的鄰居
List<Vertex> neighbors = getNeighbors(vertex); //更新鄰居的最短路徑
updatesDistance(vertex, neighbors); pop(); } System.out.println("search over"); } /* * 更新所有鄰居的最短路徑 */
private void updatesDistance(Vertex vertex, List<Vertex> neighbors){ for(Vertex neighbor: neighbors){ updateDistance(vertex, neighbor); } } /* * 更新鄰居的最短路徑 */
private void updateDistance(Vertex vertex, Vertex neighbor){ int distance = getDistance(vertex, neighbor) + vertex.getPath(); if(distance < neighbor.getPath()){ neighbor.setPath(distance); } } /* * 初始化未訪問頂點集合 */
private void initUnVisited() { unVisited = new PriorityQueue<Vertex>(); for (Vertex v : vertexs) { unVisited.add(v); } } /* * 從未訪問頂點集合中刪除已找到最短路徑的節點 */
private void pop() { unVisited.poll(); } /* * 獲取頂點到目標頂點的距離 */
private int getDistance(Vertex source, Vertex destination) { int sourceIndex = vertexs.indexOf(source); int destIndex = vertexs.indexOf(destination); return edges[sourceIndex][destIndex]; } /* * 獲取頂點所有(未訪問的)鄰居 */
private List<Vertex> getNeighbors(Vertex v) { List<Vertex> neighbors = new ArrayList<Vertex>(); int position = vertexs.indexOf(v); Vertex neighbor = null; int distance; for (int i = 0; i < vertexs.size(); i++) { if (i == position) { //頂點本身，跳過
continue; } distance = edges[position][i]; //到所有頂點的距離
if (distance < Integer.MAX_VALUE) { //是鄰居(有路徑可達)
neighbor = getVertex(i); if (!neighbor.isMarked()) { //如果鄰居沒有訪問過，則加入list;
neighbors.add(neighbor); } } } return neighbors; } /* * 根據頂點位置獲取頂點 */
private Vertex getVertex(int index) { return vertexs.get(index); } /* * 打印圖 */
public void printGraph() { int verNums = vertexs.size(); for (int row = 0; row < verNums; row++) { for (int col = 0; col < verNums; col++) { if(Integer.MAX_VALUE == edges[row][col]){ System.out.print("X"); System.out.print(" "); continue; } System.out.print(edges[row][col]); System.out.print(" "); } System.out.println(); } } }
public class Test { public static void main(String[] args){ List<Vertex> vertexs = new ArrayList<Vertex>(); Vertex a = new Vertex("A", 0); Vertex b = new Vertex("B"); Vertex c = new Vertex("C"); Vertex d = new Vertex("D"); Vertex e = new Vertex("E"); Vertex f = new Vertex("F"); vertexs.add(a); vertexs.add(b); vertexs.add(c); vertexs.add(d); vertexs.add(e); vertexs.add(f); int[][] edges = { {Integer.MAX_VALUE,6,3,Integer.MAX_VALUE,Integer.MAX_VALUE,Integer.MAX_VALUE}, {6,Integer.MAX_VALUE,2,5,Integer.MAX_VALUE,Integer.MAX_VALUE}, {3,2,Integer.MAX_VALUE,3,4,Integer.MAX_VALUE}, {Integer.MAX_VALUE,5,3,Integer.MAX_VALUE,5,3}, {Integer.MAX_VALUE,Integer.MAX_VALUE,4,5,Integer.MAX_VALUE,5}, {Integer.MAX_VALUE,Integer.MAX_VALUE,Integer.MAX_VALUE,3,5,Integer.MAX_VALUE} }; Graph graph = new Graph(vertexs, edges); graph.printGraph(); graph.search(); } }
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