IEEE 754 浮點數的表示方法

1、在電氣和電子工程師協會IEEE 754 標准中

• float單精度浮點數（4個字節，32位）在機器中表示：用1位表示數字的符號（正負號），8位表示指數，23位表示尾數（即小數部分）

• double雙精度浮點數（8個字節，64位）：1位表示符號（正負號），11位表示指數，52位表示尾數

浮點數階碼E用“指數e的移碼-1”表示，還可以用階碼E的移碼（特殊的移碼）+階碼E的真值（即指數）表示。

階碼的移碼：假設階碼用8個二進制位表示，則該階碼的移碼為 2^(n-1) ，但注意這里的移碼是特殊的移碼，僅偏移2^(n-1)-1=127 。

2、浮點數的規格化

同一浮點數表示方式不唯一（如1.5=1.01x2⁽⁰⁾ =0.101*2⁽¹⁾），所以規定當尾數不為0時，向左或向右移動小數點，使得小數點左邊始終為1（即1.M的格式）。

3、單精度浮點數真值

一個規格化32位的浮點數x的真值表示為：x=(-1)^(s)x(1.M)x2^(e) , e=E-127 , E=e的移碼-1

4、十進制到機器碼

(1)0.5=(0.1)(二進制)，符號位s為0，指數為e=-1，規格化后尾數為1.0

單精度浮點數尾數域(從小數點后開始)共23位，右側以0補全，尾數域：

M=[000 0000 0000 0000 0000 0000]（二進制）

階碼E：E=[-1]（的移碼）-1=[0111 1111]（二進制）-1=[0111 1110]（二進制）

或者 E=127（2^(8-1)-1，特殊的移碼）+（-1）（指數）=126=[0111 1110]（二進制）

將符號位s，階碼E和尾數域M存放到指定位置，可得0.5的機器碼為：

0.5=[0011 1111 0000 0000 0000 0000 0000 0000]（二進制）

十六進制表示為：0.5=0x3f000000 （0x:表示十六進制，0011：3，1111：f,）

(2)1.5=[1.1]（二進制），符號位為0，指數e=0，規格化后尾數為1.1。

尾數域M右側以0補全：M=[100 0000 0000 0000 0000 0000]（二進制）

階碼E：E=[0]（的移碼）-1=[10000000]（二進制）-1=[01111111]（二進制）

得1.5的機器碼：1.5=[0011 1111 1100 0000 0000 0000 0000 0000]（二進制）

十六進制表示：1.5=0x3fc00000

（3）−12.5=[−1100.1]（二進制） ，符號位S為1，指數e為3，規格化后尾數為1.1001，

尾數域Ｍ右側以0補全:
M=[100 1000 0000 0000 0000 0000] （二進制）

階碼E：
E=[3]（的移碼）−1=[1000 0011]（二進制）−1=[1000 0010]（二進制）

即-12.5的機器碼：
−12.5=[1100 0001 0100 1000 0000 0000 0000 0000]（二進制）

十六進制表示：-12.5=0xc1480000 。

5、機器碼到十進制

若某個浮點數的IEEE 754標准存儲格式為0x41360000,那么其浮點數的十進制數值為多少：

0x41360000=[0 10000010 011 0110 0000 0000 0000 0000]

有上述機器碼可知符號位s=0,指數e=階碼-127=1000 0010-127=130-127=3，或者階碼+1=移碼，移碼變換為原碼求得指數 ，10000010+1=10000011（移碼）=00000011（原碼）=3（指數e）

尾數域為：011 0110 0000 0000 0000 0000，第一個0的左邊隱藏了一個1，即尾數1.M=1.011 0110 0000 0000 0000 0000

於是：x=（-1）^(s)x1.Mx2^(e)=+(1.011011)x2⁽³⁾=+1011.011=(11.375)（十進制）

6、浮點數的特殊情況

（1）0的表示(32位為例)

如果階碼E=0,且尾數M是0，則這個數的真值為+0或-0

+0機器碼為：0 00000000 000 0000 0000 0000 0000 0000

-0機器碼為：1 00000000 000 0000 0000 0000 0000 0000

浮點數不能精確表示0，而是以很小的數來近似表示0，以32位單精度浮點數為例：

x=(-1)^(s)x(1.M)x2^(e) , e=E-127

+0的機器碼對應的真值為：1.0x2^(-127)

-0的機器碼對應的真值為: -1.0x2^(-127)

(2) ±∞的表示(32位為例)

如果階碼E=255，且尾數M是0，則這個數的真值為+∞或-∞

+∞的機器碼為：0 11111111 000 0000 0000 0000 0000 0000

-∞的機器嗎為：1 11111111 000 0000 0000 0000 0000 0000

x=(-1)^(s)x(1.M)x2^(e) , e=E-127

+∞的機器碼對應真值為：1.0x2^(128)

-∞的機器碼對應真值為：-1.0x2^(128)

7、浮點數的精度

浮點數的精度是由尾數的位數來決定的：

• 對於float型浮點數，尾數部分23位，換算成十進制就是 2^23=8388608，所以十進制精度只有6 ~ 7位；
• 對於double型浮點數，尾數部分52位，換算成十進制就是 2^52 = 4503599627370496，所以十進制精度只有15 ~ 16位

例題：以下例題是在java編譯環境下檢測的。

1、為什么以下返的結果為true?

System.out.println(1f==0.99999999f);
//結果返回 true

分析：

1.0（十進制）=1.0（二進制）* 2⁰
↓
0 01111111 0000000 00000000 00000000（二進制）
↓
0x3F800000（十六進制）

0.99999999（十進制）

=0.111 111 111 111 111 111 111 111110（二進制）

(猜測：浮點數的尾數只有23位，事先將第24位加一，把進位加到第23位，結果為1.0000000 00000000 00000000)

（實際上和編譯器有關，當小數點后的23位全為0時，編譯器就當成全0處理，即0.0000000 00000000 00000000）

=0.0000000 00000000 00000000* 2⁰

​ ↓
0 01111111 0000000 00000000 00000000（二進制）
​ ↓
0x3F800000（十六進制）

原因：float型浮點數十進制精度只有6 ~ 7位，而0.99999999f小數點后有8位，超出了精度范圍（猜測產生了進位）。

2、為什么以下返回的結果為`false`?

System.out.println(1f==0.9999999f);
//結果返回 false

分析：

0.9999999（十進制）

=0.1111111 11111111 111111110(二進制)

(第24位為0加一不產生進位，所以結果是小數點后23個1，最后進行規范化處理缺位補0)

=1.111111 11111111 11111110(二進制) * 2^-1

​ ↓
0 01111110 1111111 11111111 11111110（二進制）
​ ↓
0x3F7FFFFE（十六進制）

這些只是我個人的理解，可能不是很精確，如有錯誤歡迎指正，相互交流共同進步！

參考文獻

[1] IEEE754 浮點數的表示方法
[2] 都工作兩年了，還不知道浮點數如何轉二進制？