PID解釋與離散化算法公式

一、PID解釋

1、PID含義解釋：P是Proportion，比例的意思，I是Integral，積分意思，D是Differential，微分的意思。

2、PID第一種通俗解釋：以有一個水缸有點漏水(而且漏水的速度還不一定固定不變)，通過加水讓水維持在要求水面高度的某個位置，一旦發現水面高度低於要求水面高度的某個位置，就要往水缸里加水的例子來說明PID含義。 如：小家伙接到任務后就一直守在水缸旁邊，時間長就覺得無聊，就跑到房里看小說了，每20分鍾來檢查一次水面高度。因水漏得太快，每次小家伙來檢查時，水都快漏完了，離要求的高度相差很遠。於是小家伙改為每5分鍾來檢查一次，結果每次來水都沒怎么漏，不需要加水，來得太頻繁做的是無用功。幾次試驗后，確定每10分鍾來檢查一次。這個檢查時間就稱為采樣周期，即T。為了讓水面高度維持在某個位置，開始小家伙用瓢加水，水龍頭離水缸有十幾米的距離，經常要跑好幾趟才加夠水，於是小家伙又改為用桶加，一加就是一桶，跑的次數少了，加水的速度也快了，但好幾次將缸給加溢出了，不小心弄濕了衣服幾次，小家伙又動腦筋，我不用瓢也不用桶，就用盆，幾次下來，發現剛剛好，不用跑太多次，也不會讓水溢出。這個加水工具的大小就稱為比例系數，即P。在加水過程中，小家伙又發現水雖然不會加過量溢出了，但是有時會高過要求位置比較多，還打濕了衣服。於是小家伙又想了個辦法，在水缸上裝一個漏斗，每次加水不直接倒進水缸，而是倒進漏斗讓它慢慢加。這樣溢出的問題解決了，但加水的速度又慢了，有時還趕不上漏水的速度。從而他試着變換不同大小口徑的漏斗來控制加水的速度，最終找到了滿意的漏斗。這個漏斗控制加水時間就稱為積分時間，即I。經過幾番折磨，小家伙終於喘了一口，但任務要求突然嚴了，水位控制的及時性要求大大提高，一旦水位過低，必須立即將水加到要求位置，而且不能高出太多，否則不給工錢。小家伙又為難了！於是小家伙又開努腦筋，終於讓小家伙想到一個辦法，放一盆備用水在旁邊，一發現水位低了，不經過漏斗就是一盆水下去，這樣及時性是保證了，但水位有時會高多了，小家伙可就惱啦。但方法總比困難多，小家伙在要求水位的水平面水缸處鑿一孔，再接一根管子到下面的備用桶里，這樣多出的水會從上面的孔里漏出來。這個水漏出的快慢就稱為微分時間，即D。 雖然微分的比喻有點牽強，但能幫助理解就行了。舉例中小家伙的試驗是一步步獨立做，但實際加水工具、漏斗口徑、溢水孔的大小同時都會影響加水的速度。

3、PID第二種通俗解釋：以有一個水缸里有些水，通過加水讓水維持在要求水面高度的某個位置，一旦發現水面高度低於要求水面高度的某個位置，就要往水缸里加水的例子來說明PID含義。 如：假設我們需要把預期水面高度穩定在A平面，而實際要求水面高度在B平面，那么水面高度差值Err=A-B，這個時候我們需要往水缸里面加水，加水量就是Kp*Err，Kp就是我們的比例控制系數，即P。如果A>B，Err（水面高度差值）為正，就往水缸里面加水；如果A<B，Err（水面高度差值）為負，就從水缸里面舀水出來。那么只要預期水面高度和實際要求水面高度有差值，我們都會通過水桶去加減水來調整系統。這里也許有人會有疑問，如果這里把比例控制系數Kp直接設置成1，然后加水的量直接為Err=A-B不就可以了。然而實際上很多系統是做不到這點的。比如溫度控制系統，實際溫度為5度，我要通過加熱把溫度提升到30度，這里難道我們能一次性准確的給系統加30度？顯然這是做不到的。那么比例控制的最終結果是讓Err（水面高度差值）的值趨向於0。比例控制部分公式如下圖：

在我們的比例控制的作用下，Err（水面高度差值）慢慢減小（假設一開始預期水面高度的水平面A大於實際要求水面高度的水平面B，也就是說Err（水面高度差值）是一個正值），由此可知Err（水面高度差值）是一條隨時間變化且斜率小於0的曲線。那在一定周期內，Err（水面高度差值）越大，微分的絕對值越大，對Err的減小速度起到抑制作用，直到最后斜率為0微分才會停止抑制作用。微分部分公式如下圖一及隨着微分的影響，Err（水面高度差值）曲線的斜率最終趨向於0，如下圖二：

 

 

比例控制只能盡量將Err（水面高度差值）調節到0，但是會存在這樣那樣的誤差。而微分的作用是將曲線的斜率控制到0則停止對其抑制作用，但曲線的斜率為0的時候，Err（水面高度差值）並不一定為0。總的來說就是存在靜差。怎樣來消除靜差的呢？使用積分（積分公式如下圖二）來消除。我們都知道曲線的積分相當於曲線與x軸圍出來的面積如下圖一。積分作用的目就是使紅色部分的面積和藍色部分的面積的和為0，即使系統在比例控制部分和微分控制部分已經趨於穩定，只要Err（水面高度差值）不為0就會存在靜差，只要存在靜差積分就會對系統產生影響，直到系統的Err（水面高度差值）值為0。這樣我們的PID控制在理論上就可以達到一個非常精確的控制效果。

 

 

 

二、PID離散化算法公式

1、PID離散化算法公式：分有位置式PID算法與增量式PID算法

2、位置式PID算法：假設采樣時間間隔為T，則在k時刻：偏差為e(k)；積分為e(k)+e(k-1)+e(k-2)+…+e(0)；微分為(e(k)-e(k-1))/T，離散化后的公式如圖一與從離散化后的公式分解后所得公式如圖二。

 

由以上公式可知：比例系數：Kp，積分系數：Kp*T/Ti，可以用Ki表示；微分系數：Kp*Td/T，可以用Kd表示。則公式可以寫成如下形式，這就是我們所說的位置式PID算法公式：

 

3、增量式PID算法：根據以上位置式PID算法公式推算增量式PID算法，可以求得如下形式：

由以上增量式PID算法公式分解可求得如下形式，這就是我們所說的增量式PID算法公式：

由以上增量式PID算法公式的分解式可知，由於我們需要通過計算系統的需求增量（即u（k），且只跟最近三次的偏差值有關

。）來調整系統穩定性，由此可得系統需求增量公式如下所示：

4、位置式PID算法與增量式PID算法優缺點：位置式PID是一種非遞推式算法，可直接控制執行機構（如平衡小車），u(k)的值和執行機構的實際位置（如小車當前角度）是一一對應的，因此在執行機構不帶積分部件的對象中可以很好應用等優點，但每次輸出均與過去的狀態有關，計算時要對e(k)進行累加，運算工作量大等缺點。增量式PID算法是一種遞推式算法，誤動作時影響小，必要時可用邏輯判斷的方法去掉出錯數據，手動/自動切換時沖擊小，便於實現無擾動切換，當計算機故障時，仍能保持原值，算式中不需要累加，控制增量Δu(k)的確定僅與最近3次的采樣值有關等優點，但積分截斷效應大，有穩態誤差，溢出的影響大，有的被控對象用增量式則不太好等缺點。