[計算機組成原理] 海明校驗碼

海明校驗碼是一種可以糾正一位差錯的編碼，采用分組奇偶校驗

編碼

1.計算校驗位的位數

假設信息位為k位，增加r位校驗位，構成n=k+r位海明碼。因為海明碼要糾正一位錯誤，n位每一位錯加上n位全對共n+1種狀態，用二進制編碼，r位校驗位可以表示2^r個狀態，則r滿足：2^r≥k+r+1

以下為幾種k和r的對應關系：

k	r最小值
1~4	3
5~11	4
12~26	5

2.確定有效信息和校驗位的位置

設數據位為D_i,校驗位為P_j,構成的海明碼的位置為H_k,海明碼要求第i組的校驗位必須位於2^i-1的位置，比如1、2、4、8......

舉個例子，k=8,r=4

H12	H11	H10	H9	H8	H7	H6	H5	H4	H3	H2	H1
D8	D7	D6	D5	P4	D4	D3	D2	P3	D1	P2	P1

3.分組

若D_i=H_j,則D_i參加那些位號之和(拆成2的冪)等於j的校驗位的分組校驗

舉幾個例子：

D₁ 在海明碼中的位置為H₃,3=1+2,D₁參加第一組和第二組的校驗

D₂在海明碼中的位置為H₅,5=1+4，D₂參加第一組和第四組的校驗

D₃在海明碼中的位置為H₆,6=2+4，D₃參加第二組和第四組的校驗

寫成二進制，規律更明顯：

數據位	海明碼位置	海明碼位置下標二進制
D8	H12	1100
D7	H11	1011
D6	H10	1010
D5	H9	1001
D4	H7	0111
D3	H6	0110
D2	H5	0101
D1	H3	0011

P₁校驗第一組，包含的數據的海明碼位置的二進制的第一位是1:D₇D₅D₄D₂D₁

P₂ 校驗第二組，包含的數據的海明碼位置的二進制的第二位是1:D₇D₆D₄D₃D₁

P₃校驗第三組，包含的數據的海明碼位置的二進制的第三位是1:D₈D₄D₃D₂

P₄:校驗第四組，包含的數據的海明碼位置的二進制的四位是1:D₈D₇D₆D₅

4.計算校驗位，得出海明碼

假設是偶校驗，加上校驗位使該組的1的個數為偶數，可以用異或計算

P₁= D₇⊕D₅⊕D₄⊕D₂⊕D₁

P₂ =D₇⊕D₆⊕D₄⊕D₃⊕D₁

P₃=D₈⊕D₄⊕D₃⊕D₂

P₄=D₈⊕D₇⊕D₆⊕D₅

算出校驗位后，按2中的位置填入相應數字，得到海明碼

譯碼

在接收端收到海明碼后，按上述分組檢驗每組的正確性,每組異或為0則該組沒出錯，否則該組出錯

S₄=P₁⊕ D₇⊕D₅⊕D₄⊕D₂⊕D₁

S₃=P₂ ⊕D₇⊕D₆⊕D₄⊕D₃⊕D₁

S₂=P₃⊕D₈⊕D₄⊕D₃⊕D₂

S₁=P₄⊕D₈⊕D₇⊕D₆⊕D₅

若S₄S₃S₂S₁=0000,則沒有出錯，將信息位提取出來使用

若S₄S₃S₂S₁不是全零,如S₄S₃S₂S₁=1010，則1010對應的十進制10，海明碼H₁₀(數據D₆)出錯，將H₁₀取反即可

若十進制對應的位置是校驗位出錯，不需要糾正，因為我們只需要確保數據不出錯就可以

思考：為什么這樣分組

四位數據，r=3，海明碼H₇H₆...H₁中，H₁H₂H₄是校驗位，3=1+2，5=1+4，6=2+4，7=1+2+4

第一組:1 3 5 7

第二組：2 3 6 7

第三組：4 5 6 7

校驗時每組異或，計算S₃S₂S₁,全0則沒出錯，001則第一組出錯，出錯的位是第一組獨有的那一位--第一位，剛好是001的十進制，101則1、3組錯，出錯的是1、3組共有，其他組沒有的那一位--5，剛好是101的10進制