[计算机组成原理] 海明校验码

海明校验码是一种可以纠正一位差错的编码，采用分组奇偶校验

编码

1.计算校验位的位数

假设信息位为k位，增加r位校验位，构成n=k+r位海明码。因为海明码要纠正一位错误，n位每一位错加上n位全对共n+1种状态，用二进制编码，r位校验位可以表示2^r个状态，则r满足：2^r≥k+r+1

以下为几种k和r的对应关系：

k	r最小值
1~4	3
5~11	4
12~26	5

2.确定有效信息和校验位的位置

设数据位为D_i,校验位为P_j,构成的海明码的位置为H_k,海明码要求第i组的校验位必须位于2^i-1的位置，比如1、2、4、8......

举个例子，k=8,r=4

H12	H11	H10	H9	H8	H7	H6	H5	H4	H3	H2	H1
D8	D7	D6	D5	P4	D4	D3	D2	P3	D1	P2	P1

3.分组

若D_i=H_j,则D_i参加那些位号之和(拆成2的幂)等于j的校验位的分组校验

举几个例子：

D₁ 在海明码中的位置为H₃,3=1+2,D₁参加第一组和第二组的校验

D₂在海明码中的位置为H₅,5=1+4，D₂参加第一组和第四组的校验

D₃在海明码中的位置为H₆,6=2+4，D₃参加第二组和第四组的校验

写成二进制，规律更明显：

数据位	海明码位置	海明码位置下标二进制
D8	H12	1100
D7	H11	1011
D6	H10	1010
D5	H9	1001
D4	H7	0111
D3	H6	0110
D2	H5	0101
D1	H3	0011

P₁校验第一组，包含的数据的海明码位置的二进制的第一位是1:D₇D₅D₄D₂D₁

P₂ 校验第二组，包含的数据的海明码位置的二进制的第二位是1:D₇D₆D₄D₃D₁

P₃校验第三组，包含的数据的海明码位置的二进制的第三位是1:D₈D₄D₃D₂

P₄:校验第四组，包含的数据的海明码位置的二进制的四位是1:D₈D₇D₆D₅

4.计算校验位，得出海明码

假设是偶校验，加上校验位使该组的1的个数为偶数，可以用异或计算

P₁= D₇⊕D₅⊕D₄⊕D₂⊕D₁

P₂ =D₇⊕D₆⊕D₄⊕D₃⊕D₁

P₃=D₈⊕D₄⊕D₃⊕D₂

P₄=D₈⊕D₇⊕D₆⊕D₅

算出校验位后，按2中的位置填入相应数字，得到海明码

译码

在接收端收到海明码后，按上述分组检验每组的正确性,每组异或为0则该组没出错，否则该组出错

S₄=P₁⊕ D₇⊕D₅⊕D₄⊕D₂⊕D₁

S₃=P₂ ⊕D₇⊕D₆⊕D₄⊕D₃⊕D₁

S₂=P₃⊕D₈⊕D₄⊕D₃⊕D₂

S₁=P₄⊕D₈⊕D₇⊕D₆⊕D₅

若S₄S₃S₂S₁=0000,则没有出错，将信息位提取出来使用

若S₄S₃S₂S₁不是全零,如S₄S₃S₂S₁=1010，则1010对应的十进制10，海明码H₁₀(数据D₆)出错，将H₁₀取反即可

若十进制对应的位置是校验位出错，不需要纠正，因为我们只需要确保数据不出错就可以

思考：为什么这样分组

四位数据，r=3，海明码H₇H₆...H₁中，H₁H₂H₄是校验位，3=1+2，5=1+4，6=2+4，7=1+2+4

第一组:1 3 5 7

第二组：2 3 6 7

第三组：4 5 6 7

校验时每组异或，计算S₃S₂S₁,全0则没出错，001则第一组出错，出错的位是第一组独有的那一位--第一位，刚好是001的十进制，101则1、3组错，出错的是1、3组共有，其他组没有的那一位--5，刚好是101的10进制