名稱： 阿基米德性
各 來源：華東師范大學，數學分析，上冊，第三版，附錄2 ，290頁
F中元素滿足阿基米德性，對任意兩個正元素a, b , 必存在自然數n, 使得 na > b
定理內容： 對於任何實數x，存在自然數n有n>x
來源：百度
分析
對任何a,b 兩個正數，存在自然數n， 使得 na > b
推論1.1：設 a = 1，即變為：存在自然數 N，對任何正數 b 有N > b , 即，不存在最大實數；
推論1.2: 對任何正有理數，都有一個正有理數小於該數；
推論2 ：對任何a，b，k大於0, 存在N，有a + Nk > b
推論3：對於任何有理數r，總存在比它大的正整數n，即 n> r
推論4：對於任何有理數r，總存在比它小的數q，即 q < r
阿基米德性在實數范圍內的證明
說明： 1 利用確界定理，前提是確界定理在實數中成立。 注：確界定理在有理數范圍內不成立，例如，集合 A：{x 屬於 Q有理數 | x <根號2}在有理數范圍內，沒有 上確界，因為可以無限靠近根號2。
2 使得確界原理成立的有序域，稱為有完備性的有序域。有理數域是不完備的。----------華東師范大學 數學分析 第三版 p290
3 華東師范大學 附錄2 p290有證明
證：用反證法。
設 a, b 為正元素，集合 A = { na, n為任意自然數 }
若對於任意n，都有 na < b, 說明集合A有上界，b就是上界中的一個元素，即 b 是集合A的一個上界
由確界原理可知，A有上確界，記為 supA ， 則 對任何 na，具有 na < supA
且存在一個N，有Na ， 有Na > supA - a
可推得 Na > supA -a
-> Na + a > supA
-> (N + 1) a > supA
而（N + 1)屬於A，（N+1）a 應該小於 supA
故，矛盾
推論1.1 的證明：將阿基米德性定理中的 a 取1，則得到 存在 n, 有 na > b, 而a = 1，於是有 n > b
推論1.2的證明： 設 r 為任意有理數，則根據有理數的定義 r可以表示為 m/n， 於是r 的倒數 1/r 為 n/m
也是有理數，於是根據阿基米德性， 存在n，有 n > 1/r, 取倒數, 有1/n < r
這個1/n是有理數，所以1/n 就是小於r的有理數。
分析，推論1.1和推論1.2 相當於沒有最大正有理數，也沒有最小正有理數
另，阿基米德性在實數域內成立，可知 實數沒有最大正實數和最新正實數
推論 2 的證明 ：對任何a，b，k大於0, 存在N，有a + Nk > b
若 a > b, 則 b - a < 0
而 k > 0
故有 k > b-a
上式兩邊+a，有 a + k > b, 此時結論成立，N=1
若b-a >0, 則由阿基米德性，存在 N，有
Nk > b-a
上式兩側 + a, 可得
a + Nk > b
結論成立
證畢
歐幾里得性的解釋：
任意給定兩個正實數a、b，必存在正整數n，使na>b。
幾何描述：在長短不同的兩條線段中，無論較長的線段怎樣長，較短的線段怎樣短，總可以在較長的線段上連續截取較短的線段，並且截到某一次以后，必出現下面兩種情況：
1：沒有剩余；
2：得到一條短於較短線段的剩余線段。
這就是“阿基米德公理”有時也叫阿基米德-歐多克斯公理，因為阿基米德把這個命題歸功於歐多克斯。其實，比歐多克斯更早些，我國古代《墨經》上已記載着“窮，或有前不容尺也”，指的正是這個意思。
我自己的理解，給定長度，就可以用固定長度的尺子度量其全部長度。