250531首都師范大學2020年數學分析考研試題參考解答
1、 (15 分) 計算下列極限.
(1)、 (7 分) 設
且
, 求
(2)、 (8 分) 求
, 其中
為任意實數.
2、 (15 分) 證明: 函數
在
處連續, 但不可微.
3、 (15 分) 設
, 判定函數
在下列區間中是不是一致連續, 並詳細說明理由.
(1)、
,
(2)、
.
4、 (15 分) 設
是定義在
上的二階連續可微函數,
求
在柱坐標變換
下的表達式.
5、 (10 分) 設
是開區域, 可微函數
在
內滿足
其中
為常數. 證明:
在
內恆為常數.
6、 (10 分) 計算
其中
為橢圓
, 取逆時針方向.
7、 (10 分) 計算第二類曲面積分
其中
,
分別為
軸,
軸,
軸的單位向量,
為四面體
的邊界的外側.
8、 (15 分) 證明級數
在區間
中內閉一致收斂於某個函數, 並求
.
9、 (15 分) 設
在
上二階連續可微,
且存在
,
使得
. 正證明:
在
上存在唯一極小值點.
10、 (10 分) 設
為閉區間
上的連續函數, 證明:
11、 (10 分) 設函數
在閉區間
上連續, 且
. 求證: 對於任何正整數
, 都存在
, 使得
12、 (10 分) 設
, 證明對任意
, 下面不等式成立:
