傅立葉變換（的三角函數形式）的基本原理是：多個正余弦波疊加（藍色）可以用來近似任何一個原始的周期函數（紅色）
你可以簡單地理解為，我們去菜市場買菜的時候，無論質量如何奇怪，都可以轉變為“5個 1 斤的砝碼，2個 1 兩的砝碼”來表示出來，那么上面的圖我們也可以近似地想象成周期函數就是質量特別奇怪的物品，而正余弦波就是想像成成“我用了5個1號波、3個2號波”來表示這個周期函數。
我們日常遇到的琴音、震動等都可以分解為正弦波的疊加，電路中的周期電壓信號等信號都可以分解為正弦波的疊加。那么接下來，我們再深入講一下，我們再來了解兩個概念，時間是永遠在流動的花謝花開、潮來潮往，世界永遠在不停地變化，而以時間為參照系去看待這個世界，我們就叫它時域分析。就好像心電圖一樣，心電圖是記錄心臟每一心動周期所產生的電活動變化，所以隨着時間變化心電圖也會變化。這就是時域。
而頻域呢，就是描述信號在頻率方面特性時用到的一種坐標系，頻域就是裝着正弦函數的空間，自然而然的，正余弦波是頻域中唯一存在的波形。
我們從時域我們可以觀察到心臟隨着時間變化在不停地跳動的情形，但是從頻域來看，就是一個簡單的心電圖符號。如果時域是運動永不停止的，那么頻域就是靜止的。
在很多領域我們都可以用到時域和頻域，在時域，我們觀察到鋼琴的琴弦一會上一會下的擺動，就如同一支股票的走勢；而在頻域，只有那一個永恆的音符。
剛剛我們講了多個正余弦波疊加可以用來近似任何一個原始的周期函數，我們心臟不同時間、不同強度的跳動就成了我們所看到的心電圖。就可以看作正余弦波疊加成的周期函數。同樣的，利用對不同琴鍵不同力度，不同時間點的敲擊，可以組合出任何一首樂曲，也可以看作余弦波疊加成的周期函數。
而對於信號來說，信號強度隨時間的變化規律就是時域特性，信號是由哪些單一頻率的信號合成的就是頻域特性傅里葉變換實質涉及的是頻域函數和時域函數的轉換。
那么正余弦波是如何疊加成周期函數的呢？隨着正弦波數量逐漸的增長，他們最終會疊加成一個標准的矩形，不僅僅是矩形，你能想到的任何波形都是可以如此方法用正余弦波疊加起來的。
從這個方向看過去的側面圖就是頻域
從時域來看，我們會看到一個近似為矩形的波，而我們知道這個矩形的波可以被差分為一些正弦波的疊加。而從頻域方向來看，我們就看到了每一個正余弦波的幅值，每兩個正弦波之間都還有一條直線，那並不是分割線，而是振幅為 0 的正弦波！也就是說，為了組成特殊的曲線，有些正弦波成分是不需要的。隨着疊加的遞增，所有正弦波中上升的部分逐漸讓原本緩慢增加的曲線不斷變陡，而所有正弦波中下降的部分又抵消了上升到最高處時繼續上升的部分使其變為水平線。一個矩形就這么疊加而成了。但是要多少個正弦波疊加起來才能形成一個標准 90 度角的矩形波呢？不幸的告訴大家，答案是無窮多個。
所以，我們可以再來看一下開頭的動圖，是不是就更加能夠理解了。
而想要完美地表示正余弦波，除了正余弦波的幅值是不行的，還需要相位譜的幫忙，什么是相位呢？就是對於一個波，特定的時刻在它循環中的位置：一種它是否在波峰、波谷或它們之間的某點的標度。
不同相位決定了波的位置，所以對於頻域分析，僅僅有幅值是不夠的，我們還需要一個相位譜。頻譜的重點是側面看，相位譜的重點則是從下面看。
如上圖所示：投影點我們用粉色點來表示，紅色的點表示離正弦函數頻率軸最近的一個峰值，而相位差就是粉色點和紅色點水平距離除以周期。將相位差畫到一個坐標軸上就形成了相位譜。
總結一下，傅立葉變換就是多個正余弦波疊加可以用來近似任何一個原始的周期函數，它實質是是頻域函數和時域函數的轉換。而其中時域就是永遠隨着時間的變化而變化的，而頻域就是裝着裝着正余弦波的空間，代表着每一條正余弦波的幅值，而表示正余弦波除了幅值是不夠的，就還有相位譜。
傅里葉級數（Fourier Series）的相位譜
上一章的關鍵詞是：從側面看。這一章的關鍵詞是：從下面看。
在這一章最開始，我想先回答很多人的一個問題：傅里葉分析究竟是干什么用的？這段相對比較枯燥，已經知道了的同學可以直接跳到下一個分割線。
先說一個最直接的用途。無論聽廣播還是看電視，我們一定對一個詞不陌生——頻道。頻道頻道，就是頻率的通道，不同的頻道就是將不同的頻率作為一個通道來進行信息傳輸。下面大家嘗試一件事：
先在紙上畫一個sin（x），不一定標准，意思差不多就行。不是很難吧。
好，接下去畫一個sin（3x）+sin（5x）的圖形。
別說標准不標准了，曲線什么時候上升什么時候下降你都不一定畫的對吧？
好，畫不出來不要緊，我把sin（3x）+sin（5x）的曲線給你，但是前提是你不知道這個曲線的方程式，現在需要你把sin（5x）給我從圖里拿出去，看看剩下的是什么。這基本是不可能做到的。
但是在頻域呢？則簡單的很，無非就是幾條豎線而已。
所以很多在時域看似不可能做到的數學操作，在頻域相反很容易。這就是需要傅里葉變換的地方。尤其是從某條曲線中去除一些特定的頻率成分，這在工程上稱為濾波，是信號處理最重要的概念之一，只有在頻域才能輕松的做到。
再說一個更重要，但是稍微復雜一點的用途——求解微分方程。（這段有點難度，看不懂的可以直接跳過這段）微分方程的重要性不用我過多介紹了。各行各業都用的到。但是求解微分方程卻是一件相當麻煩的事情。因為除了要計算加減乘除，還要計算微分積分。而傅里葉變換則可以讓微分和積分在頻域中變為乘法和除法，大學數學瞬間變小學算術有沒有。
傅里葉分析當然還有其他更重要的用途，我們隨着講隨着提。
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下面我們繼續說相位譜：
通過時域到頻域的變換，我們得到了一個從側面看的頻譜，但是這個頻譜並沒有包含時域中全部的信息。因為頻譜只代表每一個對應的正弦波的振幅是多少，而沒有提到相位。基礎的正弦波A.sin(wt+θ)中，振幅，頻率，相位缺一不可，不同相位決定了波的位置，所以對於頻域分析，僅僅有頻譜（振幅譜）是不夠的，我們還需要一個相位譜。那么這個相位譜在哪呢？我們看下圖，這次為了避免圖片太混論，我們用7個波疊加的圖。
鑒於正弦波是周期的，我們需要設定一個用來標記正弦波位置的東西。在圖中就是那些小紅點。小紅點是距離頻率軸最近的波峰，而這個波峰所處的位置離頻率軸有多遠呢？為了看的更清楚，我們將紅色的點投影到下平面，投影點我們用粉色點來表示。當然，這些粉色的點只標注了波峰距離頻率軸的距離，並不是相位。
這里需要糾正一個概念：時間差並不是相位差。如果將全部周期看作2Pi或者360度的話，相位差則是時間差在一個周期中所占的比例。我們將時間差除周期再乘2Pi，就得到了相位差。
在完整的立體圖中，我們將投影得到的時間差依次除以所在頻率的周期，就得到了最下面的相位譜。所以，頻譜是從側面看，相位譜是從下面看。下次偷看女生裙底被發現的話，可以告訴她：“對不起，我只是想看看你的相位譜。”
注意到，相位譜中的相位除了0，就是Pi。因為cos（t+Pi）=-cos（t），所以實際上相位為Pi的波只是上下翻轉了而已。對於周期方波的傅里葉級數，這樣的相位譜已經是很簡單的了。另外值得注意的是，由於cos（t+2Pi）=cos（t），所以相位差是周期的，pi和3pi，5pi，7pi都是相同的相位。人為定義相位譜的值域為(-pi，pi]，所以圖中的相位差均為Pi。
