學習文獻：
Time-Varying Parameter VAR Model with Stochastic Volatility:An Overview of Methodology and Empirical Applications，
Jouchi Nakajima(2011)
一、
VAR:向量自回歸模型，結果僅具有統計上的 意義
SVAR：結構向量自回歸模型
TVP-VAR：Time Varying Parameter-Stochastic Volatility-Vector Auto Regression。時變參數隨機波動率向量自回歸模型，與VAR 不同的是，模型沒有同方差的假定，更符合實際。並且時變參數假定隨機波動率，更能捕捉到經濟變量在不同時代背景下所具有的關系和特征（時變影響）。將隨機波動性納入TVP估算中可以顯着提高估算性能。在VAR模型中，所有的參數遵循一階游走過程。
隨機波動的概念在TVP-VAR中很重要，隨機波動是1976年由Black提出，隨后在經濟計量中有很大的發展。近幾年，隨機波動也經常被用在宏觀經濟的經驗分析中。很多情況下，經濟數據的產生過程中具有漂移系數和隨機波動的沖擊，如果是這種情況，那么使用具有時變系數但具有恆定波動性的模型會引起一個問題，即由於忽略了擾動中波動性的可能變化，估計的時變系數可能會出現偏差。為了避免這種問題，TVP-VAR模型假設了隨機波動性。盡管似然函數難以處理，所以隨機波動率使估計變得困難，但是可以在貝葉斯推斷中使用馬爾可夫鏈蒙特卡羅（MCMC）方法來估計模型。
從 具有隨機波動性的時變參數（TVP）回歸模型的估計算法(TVP-VAR模型的單變量情況)說起。
是反應的標量，
是k×1的協變量向量，
是p×1的協變量向量。β是k×1的常系數向量；
是p×1的時變向量；
是隨機波動。
假設
=0，
。
式1中，β部分是常系數向量，對的影響是假設不隨時間變化而變化的；部分是時變向量，假設對的回歸關系是時變的。
時變系數假設遵循式2中的一階隨機游走過程。漂移系數可以捕獲可能存在的非線性，例如結構破壞。也就是說，時變系數可以捕獲真正的移動以及虛假移動。也就是說，如果和的關系不清楚，可能會出現過擬合。
對於回歸的干擾項
，服從隨時間變化的正態分布
。對數波動率
。
二、MCMC算法
MCMC算法，一種隨機采樣方法，即蒙特卡羅方法（Monte Carlo Simulation，簡稱MC）和馬爾科夫鏈（Markov Chain ，也簡稱MC）。MCMC方法是用來在概率空間，通過隨機采樣估算興趣參數的后驗分布。
MCMC方法是在貝葉斯推斷的背景下考慮的，其目標是在研究人員預先設定的特定先驗概率密度下評估目標參數的聯合后驗分布。
在貝葉斯推斷中，為未知參數θ的向量指定先驗密度，用π（θ）表示。用f(y|θ)表示數據y = {y 1 ,...,y n }的似然函數。然后根據先驗分布進行推斷，用 π(θ|y)表示。
MCMC算法通過遞歸采樣條件后驗分布來進行，其中在仿真中使用了條件參數的最新值。
Gibbs采樣器是著名的MCMC方法之一。步驟如下：
對於MCMC算法，π(θ)為先驗密度，后驗分布 π(θ,α,h|y）^4。
(具體參數參考Nakajima原文)
三、TVP-VAR Model
首先考慮SVAR model的定義：
yt是k×1的觀察變量，A，F是k×k的系數矩陣，擾動項ut是k×1的結構性沖擊，假設
，
假設A為下三角矩陣，通過遞歸識別指定結構沖擊的關系。
所以，式6可以寫為：
其中，
，定義
，（ Kronecker乘積）。
（7）
式7中，所有的參數都是時變的。所以，TVP-VAR模型：
（8）
，
，
都是時變的。
是下三角矩陣，
式8中的參數都遵循以下隨機游走過程：
注意：
1.假設參數服從隨機游走過程
2.時變參數的方差和協方差結構由參數
控制。許多文章中假定
是對角矩陣。
3.當在貝葉斯推斷中實現TVP-VAR模型時，應謹慎選擇先驗，因為TVP-VAR模型具有許多狀態變量，並且其過程被建模為非平穩隨機游走過程TVP-VAR模型非常靈活，狀態變量可以捕捉潛在經濟結構的漸進和突變。但是在VAR模型中的每個參數中允許時間變化可能會導致過度識別問題。
四、進行TVP-VAR建模時，也需要數據平穩。可以用ADF單位根檢驗法檢驗數據的平穩性，不平穩的數據可以做差分，直至平穩，用差分后的數據進行建模。
需要注意的是：TVP-VAR建模時，變量之間的順序會影響到最后的實證結果。變量的順序問題可能是實證結果不符合預期的一個原因。最好把關注的變量放在首位，這樣在時變關系圖中就能得到較好的展示。