極大團（maximal clique）算法：Born_kerbosch算法

 

不了解極大團（maximal clique）的，請看極大團這篇文章

參考資料：

Bron_Kerbosch算法

團、極大團、最大團介紹

當給出一個圖后，我們應該怎么去尋找其中的極大子團呢？

尋找極大子團的最簡單的思想是：

1.生成原始圖的所有子圖（可能的子圖有2*n個，n代表頂點個數）

2.判斷這些子圖是不是團

3.將不是極大團的團刪除

 

Born_Kerbosch算法

這個算法主要構造三個集合：

R集合：存儲當前極大團中加入的頂點

P集合：存儲可能還加入的點

X集合：存儲的是已經假如過某個極大團的點（作用是判重，因為會從每個頂點開始，枚舉所有團，如果不對已經加入到某個極大團的頂點進行標記，可能會有重復極大團的出現）

 

基礎Born_kerbosch算法：

1.對於任意一個在集合P中的頂點V，我們把V加入到R集合（集合P中的每一個頂點均與R集合中所有的點是連接的，所以加入頂點V后，依然能保證集合R是個團），然后對在P集合中且與V相連的這部分點中，尋找下一個可能加入到R集合的點。（意思就時加入點v至R集合后更新P集合，使P集合中的任意一個點依然能和R集合中每一個點都是連接的。因為這里新R集合中加入了V，所以只要是原p集合中且與v頂點相連的這些頂點就是與新R集合中所有頂點相連）

2.回溯時把頂點V從P中移除並加入到X集合，表示在當前狀態下包含頂點V的極大團已經計算完畢。

3.R集合為極大團時，必須滿足P與X都是空的。P存放的是還可能加入到極大團R中的點，P集合為空表示已經沒有點能加入到R中了。而X中存放的是已經完成極大團計算的點，且X集合中的任意一個點必然是與R中每個頂點都連接（因為我們每次向下dfs時，還對P和X分別進行取與R集合內都連接的操作來保證，而且X中的點就是從R中取出的點，當然會和R集合中的每個點都連接），即X中的點必然可以和R集合構成極大團。如果X集合不為空的話，可以把X的點加入到R集合中從而構成一個團R1，R1的頂點數大於R，說明R就不是一個極大團，R1集合中的極大團是之前計算包含x集合中的點的極大團的時候計算過了的，故當且僅當P、X集合都為空時R才是一個極大團。

算法圖例

 

Born_Kerbosch算法的優化

在上面這個方法中，我們進行了許多不必要的判斷，例如在我們找到了極大團{1、2、3}之后，依然去對{1、3}，{2、3}，{3}這些團進行了判斷，然而這些顯然不是極大團。所以現在考慮的是對其進行優化，使程序不用進行不必要的遞歸。

當我們將一個結點u，放入到R集合后，再取下一個結點，取的必然是u的鄰居結點（因為再更新P和X時，會將不是鄰居結點的結點都過濾掉）。通俗的講就是如果取完u之后我們再取與u相鄰的點v也能加入到極大團，那么我們只取u就好了，因為我們由u開始遞歸，已經找到了u及其鄰居結點v等等結點構成的極大團了，沒有必要再去從v開始尋找極大團，這會增加不必要的計算。至於v可能可以其他結點構成另一個極大團，如果這個極大團包括了u，那么由u開始就已經找到了這個極大團了；如果這個極大團不包括u,那說明這個極大團里面一定存在和u結點不相連的結點k，那沒必要從v開始尋找這個極大團了，從u的非鄰居結點k開始，一樣可以找到這個極大團。這樣對u及其鄰居結點構成的極大團，只需要從u開始尋找一次就可以了，接下來就直接從u的非鄰居結點k開始尋找極大團，這樣可以減少許多不必要的計算。