一、問題描述
了解最大團問題（Maximum Clique Problem, MCP）之前需要明白幾個概念。復習一下圖論知識......
完全圖：如果無向圖中的任何一對頂點之間都有一條邊，這種無向圖稱為完全圖。
完全子圖：給定無向圖G=(V,E)。如果U
V，且對任意u，vU 有(u，v) E，則稱U 是G 的完全子圖。
團（最大完全子圖）: U是G的團當且僅當U不包含在G 的更大的完全子圖中
最大團：G 的最大團是指G中所含頂點數最多的團。
空子圖：給定無向圖G=(V,E)。如果UV，且對任意u，vU 有(u，v) ∉ E，則稱U 是G 的空子圖。G的空子圖U是G的獨立集當且僅當U不包含在G的更大空子圖中。
獨立集：對於給定無向圖G=(V,E)。如果頂點集合V*V，若V*中任何兩個頂點均不相鄰，則稱V*為G的點獨立集，或簡稱獨立集。
最大獨立集：G中所含頂點數最多的獨立集。
例如：
(a) (b) (c) (d)
圖a是一個無向圖，圖b、c、d都是圖a的團，且都是最大團。
補圖：
圖G的補圖，通俗的來講就是完全圖Kn去除G的邊集后得到的圖Kn-G。在圖論里面，一個圖G的補圖（complement）或者反面（inverse）是一個圖有着跟G相同的點，而且這些點之間有邊相連當且僅當在G里面他們沒有邊相連。
二、算法設計
大致思路：
首先設最大團為一個空團，往其中加入一個頂點，然后依次考慮每個頂點，查看該頂點加入團之后仍然構成一個團，如果可以，考慮將該頂點加入團或者舍棄兩種情況，如果不行，直接舍棄，然后遞歸判斷下一頂點。對於無連接或者直接舍棄兩種情況，在遞歸前，可采用剪枝策略來避免無效搜索。
為了判斷當前頂點加入團之后是否仍是一個團，只需要考慮該頂點和團中頂點是否都有連接。
程序中采用了一個比較簡單的剪枝策略，即如果剩余未考慮的頂點數加上團中頂點數不大於當前解的頂點數，可停止繼續深度搜索，否則繼續深度遞歸。
三、實例分析
如圖1所示，給定無向圖G={V, E}，其中V ={1,2,3,4,5}，E={(1,2), (1,4), (1,5), (2,3), (2,5), (3,5), (4,5)}。根據MCP定義，子集{1,2}是圖G的一個大小為2的完全子圖，但不是一個團，因為它包含於G的更大的完全子圖{1,2,5}之中。{1,2,5}是G的一個最大團。{1,4,5}和{2,3,5}也是G的最大團。
圖2是無向圖G的補圖G'。根據最大獨立集定義，{2,4}是G的一個空子圖，同時也是G的一個最大獨立集。雖然{1,2}也是G'的空子圖，但它不是G'的獨立集，因為它包含在G'的空子圖{1,2,5}中。{1,2,5}是G'的最大獨立集。{1,4,5}和{2,3,5}也是G'的最大獨立集。
以圖1為例，利用回溯法搜索其空間樹，具體搜索過程（見圖3所示）如下：假設我們按照1®2®3®4®5的順序深度搜索。
開始時，根結點R是唯一活結點，也是當前擴展結點，位於第1層，此時當前團的頂點數cn=0，最大團的頂點數bestn=0。
在這個擴展結點處，我們假定R和第二層的頂點1之間有邊相連，則沿縱深方向移至頂點1處。此時結點R和頂點1都是活結點，頂點1成為當前的擴展結點。此時當前團的頂點數cn=1，最大團的頂點數bestn=0。繼續深度搜索至第3層頂點2處，此時頂點1和2有邊相連，都是活結點，頂點2成為當前擴展結點。
此時當前團的頂點數cn=2，最大團的頂點數bestn=0。再深度搜索至第4層頂點3處，由於頂點3和2有邊相連但與頂點1無邊相連，則利用剪枝函數剪去該枝，此時由於cn+n-i=2+5-4=3>bestn=0，則回溯到結點2處進入右子樹，開始搜索。此時當前團的頂點數cn=2，最大團的頂點數bestn=0。再深度搜索至第5層頂點4處，由於頂點3和4無邊相連，剪去該枝，回溯到結點3處進入右子樹，此時當前團的頂點數cn=2，最大團的頂點數bestn=0。
繼續深度搜索至第6層頂點5處，由於頂點5和4有邊相連，且與頂點1和2都有邊相連，則進入左子樹搜索。由於結點5是一個葉結點，故我們得到一個可行解，此時當前團的頂點數cn=3，最大團的頂點數bestn=3。vi的取值由頂點1至頂點5所唯一確定，即v=(1, 2, 5)。此時頂點5已不能再縱深擴展，成為死結點，我們返回到結點4處。由於此時cn+n-i=3+5-6=2<bestn=3，不能在右子樹中找到更大的團，利用剪枝函數可將結點4的右結點剪去。以此回溯，直至根結點R再次成為當前的擴展結點，沿着右子樹的縱深方向移動，直至遍歷整個解空間。最后得到圖1的按照1®2®3®4®5的順序深度搜索的最大團為U={1,2,5}。當然{1,4,5}和{2,3,5}也是其最大團。
四、代碼描述
#include <iostream> #include <cstdio> #include <algorithm> using namespace std; const int maxnum=101; bool a[maxnum][maxnum];//圖的鄰接矩陣 bool x[maxnum]; //當前解 int cn;//當前團的頂點數 int bestn;//當前的最優解 int n;//圖G的頂點數 int e;//圖G的邊數 void backtrack(int i) { int j; if(i>n) { bestn=cn; printf("%d\n",bestn); for(j=1; j<=n; j++) { if(x[j]) { printf("%d ",j); } } printf("\n"); return ; } bool ok=true; for(j=1; j<i; j++) { if(x[j]&&!a[j][i])//i與j不相連 { ok=false; break; } } if(ok)//進入左子樹 { cn++; x[i]=true; backtrack(i+1); cn--; } if(cn+n-i>bestn) //剪枝 { x[i]=false; backtrack(i+1); } } int main() { int i,u,v; memset(a,false,sizeof(a)); memset(x,false,sizeof(x)); scanf("%d%d",&n,&e); for(i=0; i<e; i++) { scanf("%d%d",&u,&v); a[u][v]=true; a[v][u]=true; } cn=bestn=0; backtrack(1); return 0; } /* 5 7 1 2 1 4 1 5 2 5 2 3 3 5 4 5 */