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Bron-Kerbosch 算法計算圖的最大全連通分量(團clique)
最大獨立集： 頂點集V中取 K個頂點，其兩兩間無連接。
最大團： 頂點集V中取 K個頂點，其兩兩間有邊連接。
最大團中頂點數量 = 補圖的最大獨立集中頂點數量
補圖定義：
G = <V, E>
the complement of G, \bar{G} = <V, V \times V - E>
詳見連接： http://zh.wikipedia.org/wiki/%E8%A3%9C%E5%9C%96
更詳細的： http://en.wikipedia.org/wiki/Bron%E2%80%93Kerbosch_algorithm
就可以通過求其補圖中最大團中頂點數量,就可得出原圖中最大獨立集中頂點數量了.
對於求解 最大團中頂點數量 的搜索過程中用到的剪枝,如下
1. 剪枝1：常用的指定順序, 即枚舉第i個頂后, 以后再枚舉時枝考慮下標比大它的, 避免重復。 2. 剪枝2：自己開始從前往后的枚舉頂點, TLE兩次. 后來從后往前枚舉頂點，發現可以利用頂點之間的承襲性.我用num[i] 記錄的可選頂點集合為 V[i, i+1, ... , n] 中的最大團數目， 目標是求num[1]. 分析易知, num[i] = num[i+1] 或者 num[i]+1 (num[1...n] 具有非降的單調性,從后往前求) 由這個式子以及num[]信息的記錄，使得我們可以增加兩處剪枝: 3.上/下剪枝：假設當前枚舉的是頂點x, 它的第一個鄰接頂是i (標號一定比x大，即num[i]已經求出) 我們可以知道， 若 1 + num[i] <= best, 那么是沒沒要往下枚舉這個頂點x了，因為包含它的團是不可能超過我們目前的最優值的。 4. 立即返回剪枝: 由於num[i]最大可能為num[i+1]+1, 所以在枚舉頂點i時，只要一更新best，可知此時的num[i]就為num[i+1]+1了，不需要再去嘗試找其他的方案了，所以應立即返回.
比較容易理解得C/C++代碼:
#include<cstdio> #include<cstdlib> #include<cstring> int best; int num[maxn]; // int x[maxn]; int path[maxn]; int g[maxn][maxn], n; bool dfs( int *adj, int total, int cnt ){ // total: 與u相連的頂點數量 , cnt表示當前團的數量 int i, j, k; int t[maxn]; if( total == 0 ){ // 當此團中最后一個點 沒有 比起序號大 的頂點相連時 if( best < cnt ){ // 問題1：best為最大團中頂點的數量 // for( i = 0; i < cnt; i++) path[i] = x[i]; best = cnt; return true; } return false; } for( i = 0; i < totl; i++){ // 枚舉每一個與 u 相連的頂點 adj[i] if( cnt+(total-i) <= best ) return false; // 剪枝1， 若當前 頂點數量cnt 加上還能夠增加的最大數量 仍小於 best則 退出並返回false if( cnt+num[adj[i]] <= best ) return false; // 剪枝2， 若當前 頂點數量cnt 加上 包含adj[i]的最大團頂點數 仍小於 best則 退出並返回false // x[cnt] = adj[i]; for( k = 0, j = i+1, j < total; j++ ) // 掃描 與u相連的頂點 中與 adj[u]相連的頂點 並存儲到 數組 t[]中，數量為k if( g[ adj[i] ][ adj[j] ] ) t[ k++ ] = adj[j]; if( dfs( t, k, cnt+1 ) ) return true; } return false; } int MaximumClique(){ int i, j, k; int adj[maxn]; if( n <= 0 ) return 0; best = 0; for( i = n-1; i >= 0; i-- ){ // x[0] = i; for( k = 0, j = i+1, j < n; j++ ) // 遍歷 [i+1, n] 間頂點， if( g[i][j] ) adj[k++] = j; dfs( adj, k, 1 ); // *adj, total, cnt num[i] = best; // 得出頂點 i, 出發構成最大團 中頂點數量 } return best; }
關於 Bron-Kerbosch算法
基礎形式是一個遞歸回溯的搜索算法.通過給定三個集合 (R,P,X).
初始化集合R,X分別為空,而集合P為所有頂點的集合.
而每次從集合P中取頂點{v}, 當集合中沒有頂點時,兩種情況.
1. 集合 R 是最大團, 此時集合X為空.
2. 無最大團,此時回溯.
對於每一個從集合P中取得得頂點{v},有如下處理:
1. 將頂點{v}加到集合R中, 集合P,X 與 頂點{v}得鄰接頂點集合 N{v}相交, 之后遞歸集合 R,P,X
2. 從集合P中刪除頂點{v},並將頂點{v}添加到集合X中.
若 集合 P,X都為空, 則集合R即為最大團.
總的來看就是每次從 集合P中取v后,再在 P∩N{v} 集合中取,一直取相鄰,保證集合R中任意頂點間都兩兩相鄰...
偽代碼過程:
BronKerbosch1(R,P,X): if P and X are both empty: report R as a maximal clique for each vertex v in P: BronKerbosch1(R ⋃ {v}, P ⋂ N(v), X ⋂ N(v)) P := P \ {v} X := X ⋃ {v}
對於這個基礎的算法,效率不高,因為其遞歸搜索了所有情況,其中有些不是最大團的也進行了搜索.
為了節省時間和讓算法更快的回溯,我們可以通過設定關鍵點'pivot'{u},通過簡單分析,我們知道.
對於任意的最大團,其必須包括頂點{u}或者Non-N{u},(反面關系).不然其必然需要通過添加它們來進行擴充,這顯然矛盾.所以.我們僅僅需要測試 頂點{u}以及 Non-N{u}即可.這樣可以節省遞歸的時間.
偽代碼過程
BronKerbosch2(R,P,X): if P and X are both empty: report R as a maximal clique choose a pivot vertex u in P ⋃ X for each vertex v in P \ N(u): BronKerbosch2(R ⋃ {v}, P ⋂ N(v), X ⋂ N(v)) P := P \ {v} X := X ⋃ {v}
疑問,若 P \ N(u) 為空, 則所有頂點皆與u相鄰,則此時應該將u加入最大團則為最優...
因為通過選擇特殊點,是算法最小化遞歸調用,所以一定程度上節省了時間.
另外一種方法是用過放棄選擇特殊點,而是利用降序的方式,保證在線性的時間求的子圖的.
其實這里也可以用特殊點結合起來,效果會更優.
最大團.
偽代碼過程
BronKerbosch3(G): P = V(G) R = X = empty for each vertex v in a degeneracy ordering of G: BronKerbosch2(R ⋃ {v}, P ⋂ N(v), X ⋂ N(v)) P := P \ {v} X := X ⋃ {v}
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第三類優化模板 C/C++實現:
#include<cstdio> #include<cstring> #define N 1010 bool flag[N], a[N][N]; int ans, cnt[N], group[N], n, vis[N]; // 最大團： V中取K個頂點，兩點間相互連接 // 最大獨立集： V中取K個頂點，兩點間不連接 // 最大團數量 = 補圖中最大獨立集數 bool dfs( int u, int pos ){ int i, j; for( i = u+1; i <= n; i++){ if( cnt[i]+pos <= ans ) return 0; if( a[u][i] ){ // 與目前團中元素比較，取 Non-N(i) for( j = 0; j < pos; j++ ) if( !a[i][ vis[j] ] ) break; if( j == pos ){ // 若為空，則皆與 i 相鄰，則此時將i加入到 最大團中 vis[pos] = i; if( dfs( i, pos+1 ) ) return 1; } } } if( pos > ans ){ for( i = 0; i < pos; i++ ) group[i] = vis[i]; // 最大團 元素 ans = pos; return 1; } return 0; } void maxclique() { ans=-1; for(int i=n;i>0;i--) { vis[0]=i; dfs(i,1); cnt[i]=ans; } }