【數字圖像處理】直方圖均衡化

直方圖

像這樣形狀的數據統計圖就叫做直方圖。

不嚴謹的來說，簇狀柱狀圖也可以看成直方圖，我們之后不進行區別。

灰度直方圖

橫軸為灰度值，縱軸為灰度值在圖中的頻數。
e.g. 如下圖

設灰度級為2，最大灰度值為1
n(0)=13
n(1)=7

歸一化

即令縱軸為頻率，橫軸上將最大灰度值映射到1.

均衡化

目的：讓各個灰度值的頻率大致相同（除了0），也就是所謂的分布均勻。


這個過程，我們需要求出變換后各個灰度值所對應的新頻數。
方法：把灰度相近的值放到一起，讓矮的“長條”變高。

雖然有一些灰度值被我們丟棄了，但是留下的灰度值看起來更平坦了。需要注意的是，我們的轉移不應該改變灰度的順序，原來的灰度值為0的“長條”不可以越過灰度值為1的長條到灰度值為2的上面去。

理想情況：我們能把直方圖完全平坦化，也就是變換后的各灰度值頻率完全一致。

歸一化后，根據\(\int^1_0p(r)=1\)可得\(p(r)=1\)。
設變換前的灰度r轉移到灰度為s的“長條”上了。

我們設這個變換為\(s=T(r)\)，顯然，只要找到這個變換的具體表達式，我們就能實現均衡化了。
\(0≤r,s≤1\)
分布函數：\(F_s(s)=∫_{-∞}^sp_s(s)ds\)
我們認為理想情況下，分布函數在改變前后不變：\(F_r(r) =∫_{-∞}^rp_r (r)dr=∫_{-∞}^sp_s(s)ds\)
兩邊對s求導得：\(p_s(s)=\frac{d[\int^r_{-\infty}p_r(r)dr]}{dr}\cdot\frac{dr}{ds}=p_r\frac{dr}{ds}\)
假設：\(r=T^{-1}(s) p_s(s)=p_r\frac{d}{ds}\big(T^{-1}(s)\big)\)
將\(p_s(s)=1\)代入得：\(ds=p_rdr\)
兩邊積分：\(s=\int_0^rp_rdr=T(r)=\sum_0^rp_i\)
這樣我們就求出了\(T(r)\)。

例子

64*64的圖片，灰度級為8。

	r0	r1	r2	r3	r4	r5	r6	r7
n	790	1023	850	656	329	245	122	81
p	0.19	0.25	0.21	0.16	0.08	0.06	0.03	0.02

求出ri變換后對應的歸一化灰度值（用上面求出的\(s=\int_0^rp_rdr=T(r)=\sum_0^rp_i\)）。

s

0.19

0.44

0.65

0.81

0.89

0.95

0.98

1.00

歸一化的逆過程，求出實際的灰度值。

Ts

1.33

3.08

4.55

5.67

6.23

6.65

6.86

7.00

四舍五入求整⌊7s+0.5⌋。

si

1

3

5

6

6

7

7

7

把灰度值相同的頻數與頻率各自相加。

	790	1023	850	985		448
	0.19	0.25	0.21	0.24		0.11
si	s0	s1	s2	s3	s4	s5	s6	s7
n	0	790	0	1023	0	850	985	448
p	0	0.19	0	0.25	0	0.21	0.24	0.11

可以看出來，雖然不是完全理想，但是比變換前，直方圖更平坦了。