【數字圖像處理】 直方圖的均衡與規定化

很多情況下，圖像的灰度級集中在較窄的區間，引起圖像細節模糊。通過直方圖處理可以明晰圖像細節，突出目標物體，改善亮度比例關系，增強圖像對比度。直方圖處理基於概率論。
直方圖處理通常包括直方圖均衡化和直方圖規定化。直方圖均衡化可實現圖像的自動增強，但效果不易控制，得到的是全局增強的結果。直方圖規定化可實現圖像的有選擇增強，只要給定規定的直方圖，即可實現特定增強的效果。

直方圖均衡化

直方圖均衡化借助灰度統計直方圖和灰度累積直方圖來進行。

灰度統計直方圖

灰度統計直方圖反映了圖像中不同灰度級出現的統計情況。灰度統計直方圖是一個一維離散函數，可表示為\(h(k) = n_k, k = 0,1,...L-1\)，其中k為某個灰度級，L為灰度級的數量，最大取256，\(n_k\)為具有第k級灰度值的像素的數目。

灰度直方圖

歸一化概率
灰度統計直方圖的歸一化概率表達形式給出了對\(s_k\)出現概率的一個估計，可表示為

\[p_s(s_k) = n_k / N, k = 0, 1, 2.., L-1 \]

式中，k為某個灰度級；L為灰度級的數量，最大取256；\(s_k\)為第k級灰度值的歸一化表達形式，\(s_k = k / 255\)，故\(s_k \in [0，1]\)；\(n_k\)為具有第k級灰度值的像素的數目；N為圖像中像素的總數，故\(（n_k / N）\in [0，1]\)。

灰度累計直方圖

灰度累積直方圖反映了圖像中灰度級小於或等於某值的像素的個數。灰度累積直方圖是一個一維離散函數，可表示為

\[H(k) = \sum_{i = 0} ^k n_i, k = 0, 1, 2.., L-1 \]

式中，k為某個灰度級；L為灰度級的數量，最大取256；\(n_i\)為具有第i級灰度值的像素的數目。

累積分布函數可以表示為：

\[t_k = \sum ^k _{i=0}p_s(s_i) \]

相對的，灰度累積直方圖的歸一化表示如下圖：

原理步驟

直方圖均衡化主要用於增強動態范圍偏小的圖像的反差。其基本思想為把原圖像的直方圖轉換為均勻分布的形式，增加像素灰度值的動態范圍，增強圖像整體對比度。
直方圖均衡化的算法步驟為：

1. 列出原始圖像的灰度級k，k=0，1，2，…，L-1，L為灰度級的數量；

2. 列出原始圖像第k級灰度值的歸一化表達形式\(s_k\)；

3. 統計各灰度級的像素數目\(n_k，k=0，1，2，…，L-1\)

4. 得到灰度統計直方圖的歸一化概率表達形式：\(p_s（s_k）=n_k/N\)；

5. 畫出基於累積分布函數計算灰度累積直方圖\(E(s_i) = \sum ^k _{i=0}p_s(s_i)\)；

6. 進行取整擴展，計算映射后輸出圖像各灰度級對應灰度值的歸一化表達形式\(t_k\)：\(t_k=INT（（L-1）E（s_k）+0.5）/255\)，其中，INT為取整函數；

7. 確定映射關系\(s_k→t_k\)；

8. 統計映射后各灰度級的像素數目\(n_k\)；

9. 得到新的灰度統計直方圖的歸一化概率表達形式：\(p_t（t_k）=n_k/N\)，N為輸出圖像的像素數目，即原始圖像的像素數目。

列表計算

現有一張64*64的8比特灰度圖像，其灰度統計直方圖如圖所示，對其進行直方圖均衡化：

其直方圖均衡化計算列表如下圖所示：

從結果可以看出，均衡化后的圖像對比度增加，圖像細節比較清晰，反映在其灰度統計直方圖上就是像素占據灰度值允許的整個范圍，分布比較均衡。

直方圖均衡的缺點

綜上所述，直方圖均衡化的優點是能夠增強整個圖像的對比度。其缺點主要包括：

1. 增強效果不易控制，處理的結果總是得到全局均勻化的直方圖。
2. 均衡化圖像的動態范圍擴大，本質上是擴大了量化間隔，但量化級別（灰度級）反而減少了，導致某些圖像細節消失。
3. 對於直方圖存在高峰的圖像，經處理后對比度可能過分增強。
4. 導致出現偽輪廓；原來灰度值不同的像素經過處理后可能變為相同，從而形成一片灰度值相同的區域，各區域之間有明顯的邊界，導致出現偽輪廓。

直方圖規定化

直方圖均衡化處理的結果總是得到全局均勻化的直方圖，實際中有時需要變換直方圖使之成為某種需要的形狀，此時，可以采用比較靈活的直方圖規定化方法。

原理步驟

直方圖規定化是指通過灰度映射函數，將灰度直方圖改造成所希望的直方圖，從而有選擇地增強某個灰度值范圍內的對比度，使圖像灰度值的分布滿足特定的要求。
直方圖規定化的算法步驟為：

1. 列出原始圖像的灰度級k，k=0，1，2，…，L-1，L為灰度級的數量；
2. 出原始圖像第k級灰度值的歸一化表達形式sk；
3. 統計各灰度級的像素數目\(n_k\)，k=0，1，2，…，L-1；
4. 得到灰度統計直方圖的歸一化概率表達形式：\(p_s（s_k）=n_k/N\)，N為原始圖像的像素數目；
5. 基於累積分布函數計算灰度累積直方圖：；
6. 列出規定化圖像的灰度級l，l=0，1，2，…，M-1，M為灰度級的數量；
7. 列出規定化圖像第l級灰度值的歸一化表達形式\(t_l\)；
8. 規定直方圖，即得到規定化圖像的灰度統計直方圖的歸一化概率表達形式：\(p_t（t_l）=n_l/N\)；
9. 基於累積分布函數計算規定化圖像的灰度累積直方圖：\(E(t_l) = \sum ^l _{i=0}p_t(t_i)\)；
10. 采用灰度映射規則，計算映射后輸出圖像各灰度級對應灰度值的歸一化表達形式\(t_k\)；
11. 確定映射關系\(s_k→t_k\)；
12. 統計映射后各灰度級的像素數目nl；
13. 得到新的灰度統計直方圖的歸一化概率表達形式：\(p_t（t_l）=n_l/N\)，N為輸出圖像的像素數目，即原始圖像的像素數目。

灰度映射規則是直方圖規定化的關鍵。由於存在取整誤差的影響，灰度映射規則的好壞在離散空間尤其重要。常用的灰度映射規則包括單映射規則（SML）和組映射規則（GML）。

單映射規則（Single Mapping Law, SML）要求k從小到大變化，依次找到能使下式最小的l。對於每組k和l，分別將\(p_s（s_k）\)映射到\(p_t（t_l）\)。該方法簡單直觀，但有時會產生較大的取整誤差。

直方圖均衡化處理的結果總是得到全局均勻化的直方圖，實際中有時需要變換直方圖使之成為某種需要的形狀，此時，可以采用比較靈活的直方圖規定化方法。

原理步驟

直方圖規定化是指通過灰度映射函數，將灰度直方圖改造成所希望的直方圖，從而有選擇地增強某個灰度值范圍內的對比度，使圖像灰度值的分布滿足特定的要求。
直方圖規定化的算法步驟為：

1. 列出原始圖像的灰度級k，k=0，1，2，…，L-1，L為灰度級的數量；
2. 出原始圖像第k級灰度值的歸一化表達形式sk；
3. 統計各灰度級的像素數目\(n_k\)，k=0，1，2，…，L-1；
4. 得到灰度統計直方圖的歸一化概率表達形式：\(p_s（s_k）=n_k/N\)，N為原始圖像的像素數目；
5. 基於累積分布函數計算灰度累積直方圖：；
6. 列出規定化圖像的灰度級l，l=0，1，2，…，M-1，M為灰度級的數量；
7. 列出規定化圖像第l級灰度值的歸一化表達形式\(t_l\)；
8. 規定直方圖，即得到規定化圖像的灰度統計直方圖的歸一化概率表達形式：\(p_t（t_l）=n_l/N\)；
9. 基於累積分布函數計算規定化圖像的灰度累積直方圖：\(E(t_l) = \sum ^l _{i=0}p_t(t_i)\)；
10. 采用灰度映射規則，計算映射后輸出圖像各灰度級對應灰度值的歸一化表達形式\(t_k\)；
11. 確定映射關系\(s_k→t_k\)；
12. 統計映射后各灰度級的像素數目nl；
13. 得到新的灰度統計直方圖的歸一化概率表達形式：\(p_t（t_l）=n_l/N\)，N為輸出圖像的像素數目，即原始圖像的像素數目。

灰度映射規則是直方圖規定化的關鍵。由於存在取整誤差的影響，灰度映射規則的好壞在離散空間尤其重要。常用的灰度映射規則包括單映射規則（SML）和組映射規則（GML）。

單映射規則（Single Mapping Law, SML）要求k從小到大變化，依次找到能使下式最小的l。對於每組k和l，分別將\(p_s（s_k）\)映射到\(p_t（t_l）\)。該方法簡單直觀，但有時會產生較大的取整誤差。

式中，L和M分別為原始圖像和規定化圖像的灰度級的數量，且L≥M。

組映射規則（Group Mapping Law, GML）效果較好。設有一整數函數\(I(l)\)，l=0，1，…，M-1，滿足下式子：

確定使下面公式的最小的整數函數\(I(l)\)。若\(l=0\)，則將i從0到I(0)的\(p_s(si)\)映射到\(p_t(t_0)\)；若\(l≥1\)，則將i從\(I(l-1)+1\)到\(I(l)\)的\(p_s(s_i)\)映射到\(p_t(t_l)\)。

列表計算

有一張64×64的8比特灰度圖像，其灰度統計直方圖和規定圖像的灰度統計直方圖如下圖所示，對其進行規定化：

直方圖規定化的步驟和結果如下所示：

其中，SML和GML的計算列表如下：

繪圖計算

直方圖規定化的列表計算方式不是很直觀，一種更加直觀和簡單的方式是繪圖計算方式。
采用繪圖計算方式進行計算，將直方圖畫成一長條，每一段對應直方圖中的一項，整個長條表達了累積直方圖。
SML映射規則繪圖計算示例如下圖所示，各點映射關系由圖中實線刻畫。SML映射規則取原始累積直方圖的各項依次向規定累積直方圖映射，每次都選擇最接近的數值，即遵循最短或者說最直的連線。
（1）0.19與0.20的連線（實線）比0.19與其他點的連線都更短，故0.19映射到0.20；
（2）0.44與0.20的連線（實線）比0.44與0.80的連線（虛線）更短，故0.44映射到0.20；
（3）0.65與0.80的連線（實線）比0.65與其他點的連線都更短，故0.65映射到0.80；
（4）0.81與0.80的連線（實線）比0.81與其他點的連線都更短，故0.81映射到0.80；
（5）0.89與0.80的連線（實線）比0.89與1.00的連線（虛線）更短，故0.89映射到0.80；
（6）0.95與1.00的連線（實線）比0.95與其他點的連線都更短，故0.95映射到1.00；
（7）0.98與1.00的連線（實線）比0.98與其他點的連線都更短，故0.98映射到1.00；
（8）1.00與1.00的連線（實線）比1.00與其他點的連線都更短，故1.00映射到1.00。

GML映射規則繪圖計算示例如下圖所示，各點映射關系由圖中實線刻畫。
GML映射規則取規定化累積直方圖的各項依次向原始累積直方圖映射，每次都選擇最接近的數值，即遵循最短或者說最直的連線。
（1）0.20與0.19的連線（實線）比0.20與0.44的連線（虛線）更短，故0.20映射到0.19，因此，原始累積直方圖的第1項映射到規定化累積直方圖的第1項；
（2）0.80與0.81的連線（實線）比0.80與0.65的連線（虛線）和0.80與0.89的連線（虛線）更短，故0.80映射到0.81，因此，原始累積直方圖的第2、3、4項映射到規定化累積直方圖的第2項；
（3）1.00與1.00的連線（實線）比1.00與其他點的連線都更短，故1.00映射到1.00，因此，原始累積直方圖的第5、6、7、8項映射到規定化累積直方圖的第3項。

下圖為直方圖規定化示例：

兩種映射比較

1. 映射效果：
   SML映射規則是有偏的映射規則，一些對應灰度級被有偏地映射到接近計算開始的灰度級。GML映射規則是統計無偏的映射規則。
2. 映射誤差
   映射誤差用對應映射間數值的差值的絕對值的和來度量，和值越小，映射效果越好。理想情況下，和值為0。
   以SML映射規則為例，映射誤差=|0.44-0.20|+|（0.89-0.44）-（0.80-0.20）|+|（1.00-0.89）-（1.00-0.80）|=0.48。
   以GML映射規則為例，映射誤差=|0.20-0.19|+|（0.80-0.20）-（0.81-0.19）|+|（1.00-0.80）-（1.00-0.81）|=0.04。
   可見，GML映射規則產生的誤差小於SML映射規則產生的誤差。
3. 誤差期望值
   SML映射規則的期望誤差大於等於GML映射規則的期望誤差，因此，GML映射規則總會得到比SML映射規則更接近規定直方圖的結果。