定義
數學中的對稱多項式是一種特殊的多元多項式。
如果一個 n 元多項式 \(\text P(x_1,x_2,...,x_n)\) ，對任意的 n 元置換 \(\sigma\)，都有 \(\text P(x_{\sigma_1}, x_{\sigma_2}, ..., x_{\sigma_n})=\text P(x_1,x_2, ...,x_n)\) ，就說 \(\text P\) 是對稱多項式。
一些（特殊的）例子
范德蒙德矩陣的行列式值： \(\prod\limits_{1\le i<j\le n}(x_j-x_i)\) ，順便說一句這個東西也是多項式 \(\prod\limits_{i=1}^n(x-x_i)\) 的判別式
等冪對稱式： \(p_k(x_1,x_2,...,x_n)=\sum\limits_{i=1}^nx_i^k\)
初等對稱式： \(e_k(x_1,x_2,...,x_n)=\sum\limits_{S\subseteq\{1,2,...,n\},|S|=k}\prod\limits_{i\in S}x_i,1\le k\le n\) ，當 \(k>n\) 時 \(e_k(x_1,x_2,...,x_n)=0\) ，當 \(k=0\) 時， \(e_k=1\)
完全齊次對稱式： \(h_k(x_1,x_2,...,x_n)=\sum\limits_{1\le i_1\le i_2\le\cdots\le i_k\le n}x_{i_1}x_{i_2}...x_{i_k}\)，當 \(k=0\) 時， \(h_k=1\)
對稱多項式基本定理
一個 n 元多項式 F 是一些 n 元初等對稱式的代數組合，當且僅當 F 是對稱多項式
該定理的直接推論： 將首一多項式的 n 個根帶入一個對稱多項式，等於將原多項式的各項系數帶入某個多項式
一些有趣的結論
由於討論的 n 個變元都一樣，以下把等冪對稱式，初等對稱式，完全初等對稱式的第 \(k\) 項分別簡稱為 \(p_k,e_k,h_k\)
令 \(P(x)=\sum\limits_{i=0}^{+\infty}p_ix^i,E_0(x)=\sum\limits_{i=0}^{+\infty}e_ix^i,H(x)=\sum\limits_{i=0}^{+\infty}h_ix^i,E(x)=E_0(-x)\)
結論1
\(E*H=1\)
證明：
顯然有 \(H(x)=\prod\limits_{i=1}^{n}\frac1{1-x_ix}\) 和 \(F(x)=\prod\limits_{i=1}^n(x-x_i)=\sum\limits_{i=0}^{+\infty}(-1)^ie_ix^{n-i}\)
那么 \(x^nF(\frac1x)=\prod\limits_{i=1}^n(1-x_ix)=\sum\limits_{i=0}^{+\infty}(-1)^ie_ix^i=E(x)\)
於是 \(E*H=1\)
得證
結論2
將生成函數進行比對即可證明
結論3
\(\forall n,k\ge1,ke_k=\sum\limits_{i=1}^k(-1)^{i-1}e_{k-i}p_i\)
可以用數學歸納法證明，從一元推到n元的形式
或者我們冷靜一下，考慮等冪和的推導方式，由於 \(P(x)=\sum\limits_{i=1}^n\frac1{1-a_ix}\) ，且 \(\frac1{1-a_ix}=1-x(\ln(1-a_ix))'\) ，於是能夠推出 \(P(x)=n-x(\ln(\prod\limits_{i=1}^n(1-a_ix)))'\) ，即 \(P(x)=n-x(\ln(E(x)))'\) ，與結論 3 相符。
同時可以得到的結論是 \(E(x)=\frac1{e^{\int\frac{P(x)-n}x\text dx}},P(x)=n+x\ln(H(x)),H(x)=e^{\int\frac{P(x)-n}x\text dx}\) ，說不定就能用上
比如說給你一個 \(P(x)\) ，讓你還原所有的 \(a_i\) ，那么我們可以求出 \(E(x)\) ，然后求出 \(E(x)\) 所有根.