2020新年年初，一場疫情讓人們止住了匆忙的腳步。一次在家看初中的在線教育視頻，數學課上老師講到一種求兩個正整數的最大公約數的算法：輾轉相除法，當時老師講的很好，非常易懂，有了理論基礎於是想用代碼的方式實現。以下證明過程與教學視頻無關。
一，輾轉相除法
「輾轉相除法」又叫做「歐幾里得算法」,是公元前 300 年左右的希臘數學家歐幾里得在他的著作《幾何原本》提出的.利用這個方法,可以較快地求出兩個自然數的最大公因數,即 HCF 或叫做 gcd.所謂最大公因數,是指幾個數的共有的因數之中最大的一個,例如 8 和 12 的最大公因數是 4,記作 gcd(8,12)=4.
在介紹這個方法之前,先說明整除性的一些特點,注以下文的所有數都是正整數,以后不再重覆.
我們可以這樣給出整除以的定義:
對於兩個自然數 a 和 b,若存在正整數 q,使得 a=bq,則 b 能整除 a,記作 b | a,我們叫 b 是 a 的因數,而 a 是 b 的倍數.
那麼如果 c | a,而且 c | b,則 c 是 a 和 b 的公因數.
由此,我們可以得出以下一些推論:
推論一:如果 a | b,若 k 是整數,則 a | kb.因為由 a | b 可知 ha=b,所以 (hk)a=kb,即 a | kb.
推論二:如果 a | b 以及 a | c,則 a | (b±c).因為由 a | b 以及 a | c,可知 ha=b,ka=c,二式相加,得 (h+k)a=b+c,即 a | (b+c).同樣把二式相減可得 a | (b-c).
推論三:如果 a | b 以及 b | a,則 a=b.因為由 a | b 以及 b | a,可知 ha=b,a=kb,因此 a=k(ha),hk=1,由於 h 和 k 都是正整數,故 h=k=1,因此 a=b.
輾轉相除法是用來計算兩個數的最大公因數,在數值很大時尤其有用而且應用在電腦程式上也十分簡單.其理論如下:
如果 q 和 r 是 m 除以 n 的商及余數,即 m=nq+r,則 gcd(m,n)=gcd(n,r).
證明是這樣的:
設 a=gcd(m,n),b=gcd(n,r)
則有 a | m 及 a | n,因此 a | (m-nq)(這是由推論一及推論二得出的),即 a | r 及 a | n,所以 a | b
又 b | r 及 b | n,所以 b | (nq+r),即 b | m 及 b | n,所以b | a.因為 a | b 並且 b | a,所以 a=b,即 gcd(m,n)=gcd(n,r).
例如計算 gcd(546,429),由於 546=1(429)+117,429=3(117)+78,117=1(78)+39,78=2(39),因此
gcd(546,429)
=gcd(429,117)
=gcd(117,78)
=gcd(78,39)
=39
最小公倍數就是2個數的積除以最大公約數
框圖如下
二，Java算法實現
有了以上的理論基礎，算法實現不難，用一個遞歸就可以實現，代碼如下
1 public Integer GDC(Integer m, Integer n) { 2 if (m < n) 3 XOR(m, n); 4 5 Integer r = m % n; 6 if (r > 0) { 7 return GDC(n, r); 8 } else { 9 return n; 10 } 11 } 12 13 /** 14 * 兩個數對換 15 */ 16 private void XOR(Integer m, Integer n) { 17 m = m ^ n; 18 n = m ^ n; 19 m = m ^ n; 20 }
這段代碼可以很好的實現求最大公約數。
仔細看代碼后，實際上這個算法不夠簡潔，還可以優化，核心算法優化為一句代碼實現，如下：
1 public Integer GDC(Integer m, Integer n) { 2 return n == 0 ? m : GCC(n, m % n); 3 }
優化后的代碼3行搞定，非常簡潔。