C語言復習---獲取最大公約數（輾轉相除法和更相減損法）

源自：百度百科 

輾轉相除法

輾轉相除法：輾轉相除法是求兩個自然數的最大公約數的一種方法，也叫歐幾里德算法。

例如，求（319，377）：
∵ 319÷377=0（余319）
∴（319，377）=（377，319）；
∵ 377÷319=1（余58）
∴（377，319）=（319，58）；
∵ 319÷58=5（余29）
∴ （319，58）=（58，29）；
∵ 58÷29=2（余0）
∴ （58，29）= 29；
∴ （319，377）=29。

用輾轉相除法求幾個數的最大公約數，可以先求出其中任意兩個數的最大公約數，再求這個最大公約數與第三個數的最大公約數，依次求下去，直到最后一個數為止。最后所得的那個最大公約數，就是所有這些數的最大公約數。

更相減損法

更相減損法：也叫 更相減損術

第一步：任意給定兩個正整數；判斷它們是否都是偶數。若是，則用2約簡；若不是則執行第二步。
第二步：以較大的數減較小的數，接着把所得的差與較小的數比較，並以大數減小數。繼續這個操作，直到所得的減數和差相等為止。
則第一步中約掉的若干個2與第二步中等數的乘積就是所求的最大公約數。
其中所說的“等數”，就是最大公約數。求“等數”的辦法是“更相減損”法。所以更相減損法也叫等值算法。

例1．用更相減損術求98與63的最大公約數。
解：由於63不是偶數，把98和63以大數減小數，並輾轉相減：
98-63=35
63-35=28
35-28=7
28-7=21
21-7=14
14-7=7
所以，98和63的最大公約數等於7。
這個過程可以簡單的寫為：
（98，63）=（35，63）=（35，28）=（7，28）=（7，21）=（7，14）=（7，7）=7.
例2．用更相減損術求260和104的最大公約數。
解：由於260和104均為偶數，首先用2約簡得到130和52，再用2約簡得到65和26。
此時65是奇數而26不是奇數，故把65和26輾轉相減：
65-26=39
39-26=13
26-13=13
所以，260與104的最大公約數等於13乘以第一步中約掉的兩個2，即13*2*2=52。
這個過程可以簡單地寫為：
（260,104）(/2/2) =>（65,26）=（39,26）=（13,26）=（13,13）=13. (*2*2) => 52 [1]

比較：

比較輾轉相除法與更相減損術的區別

（1）都是求最大公因數的方法，計算上輾轉相除法以除法為主，更相減損術以減法為主，計算次數上輾轉相除法計算次數相對較少，特別當兩個數字大小區別較大時計算次數的區別較明顯。

（2）從結果體現形式來看，輾轉相除法體現結果是以相除余數為0則得到，而更相減損術則以減數與差相等而得到

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代碼實現

一：最簡單方法

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>


int main()
{
    int m, n,temp,i;
    scanf("%d", &m);
    scanf("%d", &n);
    
    if (m>n)
    {
        temp = m;
        m = n;
        n = temp;
    }

    for (i = m; i >= 1;i--)
        if (m%i==0 && n%i==0)
            break;

    printf("%d\n", i);

    system("pause");
    return 0;
}

二：輾轉相除法（遞歸）

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>

int gcd(int a, int b) { int mod; if ((mod = a % b) == 0) return b; return gcd(b, mod); } int main()
{
    int m, n,ret;
    scanf("%d", &m);
    scanf("%d", &n);

    ret = gcd(m, n);
    printf("%d", ret);
    
    system("pause");
    return 0;
}

三：輾轉相除法（非遞歸）

int gcd(int a, int b)
{
    int mod=a % b;
    while (mod!=0)
    {
        a = b;
        b = mod;
        mod = a % b;
    }
    return b;
}

四：更相減損法（非遞歸）

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include <math.h>

int gcd(int a, int b)
{
    int val= a - b;
    while (val != b)
    {
        if (b>val)
        {
            a = b;
            b = val;
        }
        else
        {
            a = val;
        }
        val = a - b;
    }
    return val;
}

int main()
{
    int m, n,ret,temp,count=0;
    scanf("%d", &m);
    scanf("%d", &n);

    if (m == n)
    {
        printf("%d", m);
        return 0;
    }

    if (m < n)
    {
        temp = m;
        m = n;
        n = temp;
    }

    while (m%2 == 0 && n%2 == 0)
    {
        count++;
        m /= 2;
        n /= 2;
    }
    
    ret = gcd(m, n);
    printf("%d", ret*((int)pow(2,count)));　　//使用pow需要進行(int)轉換，不然會報錯
    
    system("pause");
    return 0;
}