思維導圖
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典例剖析
分析：函數\(f(x)(x\in R)\)滿足\(f(x)=f(2-x)\)，則函數的對稱軸是直線\(x=1\)，
而函數\(y=|x^2-2x-3|=|(x-1)^2-4|\)的對稱軸也是直線\(x=1\)，作出函數的圖像如右圖所示，
則二者的交點個數\(m\)一定是偶數個，兩兩配對的個數為\(\cfrac{m}{2}\)，比如\(A\)和\(B\)配對，
則有\(\cfrac{x_1+x_m}{2}=1\)，\(x_1+x_m=2\)，故\(\sum\limits_{i=1}^m{x_i}=\cfrac{m}{2}\cdot 2=m\)，故選\(B\)。
①對任意的\(x\in R\)，都有\(f(x+2)=f(x-2)\)；②函數\(y=f(x+2)\)是偶函數；
③當\(x\in(0，2]\)時，\(f(x)=e^x-\cfrac{1}{x}\)，若已知\(a=f(-5)\)，\(b=f(\cfrac{19}{2})\)，\(c=f(\cfrac{41}{4})\)，
則\(a\)，\(b\)，\(c\)的大小關系是【 】
分析：本題目是函數各種性質綜合應用的典型題目，如果你對函數的各種性質的給出方式很熟悉，
那么由①可知，函數滿足\(f(x+4)=f(x)\)，其周期是\(4\)；
由②可知\(y=f(x)\)的對稱軸是\(x=2\)，可以表達為\(f(x+4)=f(-x)\)，
那么在結合\(f(x+4)=f(x)\)，可知\(f(-x)=f(x)\)，則函數\(f(x)\)還是偶函數；
由③借助導數工具(或者增+增=增)可得，函數\(f(x)\)在區間\((0，2]\)上單調遞增，
有了以上分析得到的函數的周期性、奇偶性、單調性，就可以輕松的解決題目中的大小比較了。
\(a=f(-5)\xlongequal{周期性}f(-1)\xlongequal{奇偶性}f(1)\)；
\(b=f(\cfrac{19}{2})\xlongequal{周期性}f(\cfrac{3}{2})=f(1.5)\)；
\(c=f(\cfrac{41}{4})\xlongequal{周期性}f(2+\cfrac{1}{4})\xlongequal{已知表達式}f(\cfrac{1}{4}-2)\xlongequal{偶函數}f(2-\cfrac{1}{4})=f(1.75)\)；
或\(c=f(\cfrac{41}{4})=f(2+\cfrac{1}{4})=f(2+\cfrac{1}{4}-4)=f(-\cfrac{7}{4})=f(\cfrac{7}{4})=f(1.75)\)
由\(\because f(x)\)在區間\((0，2]\)上\(\nearrow\)，\(1<1.5<1.75\)， \(\therefore f(1)<f(1.5)<f(1.75)\)，
即\(a<b<c\)，故選\(D\)。
①對於任意的\(x\in R\)，都有\(f(x+1)=f(x-1)\)；
②函數\(y=f(x+1)\)的圖像關於\(y\)軸對稱；
③對於任意的\(x_1，x_2\in [0，1]\)，都有\([f(x_1)-f(x_2)](x_1-x_2)>0\)；
則\(f(\cfrac{3}{2})\)、\(f(2)\)、\(f(3)\)的大小關系是【】
分析：本題目考查函數的各種性質的綜合運用，其中主要涉及的是函數的奇偶性、周期性、對稱性、單調性；
由①可知，函數的周期為\(T=2\)，故可以簡化其中的兩項，\(f(2)=f(0)\)，\(f(3)=f(1)\)；
由②，通過圖像的平移，可知函數\(y=f(x)\)的對稱軸為直線\(x=1\)，即函數滿足條件\(f(x)=f(2-x)\)，再賦值得到，\(f(\cfrac{3}{2})=f(2-\cfrac{3}{2})=f(\cfrac{1}{2})\)；
由③可知函數\(f(x)\)在區間\([0，1]\)上單調遞增，由於\(1>\cfrac{1}{2}>0\)，故\(f(1)>f(\cfrac{1}{2})>f(0)\)，即滿足\(f(3)>f(\cfrac{3}{2})>f(2)\)，故選\(D\)。
分析：先將奇函數性質改寫為，\(f(x)=-f(-x)①\)；
再將對稱性\(f(1-x)=f(1+x)\)改寫為\(f(2-x)=f(x)②\)，
由①②式可知，\(f(2-x)=-f(-x)\)，即\(f(2+x)=-f(x)\)，故\(T=2\times 2=4\)，
這樣\(f(1)+f(2)+f(3)+\cdots+f(50)=12[f(1)+f(2)+f(3)+f(4)]+f(1)+f(2)\)，接下來就是重點求這些函數值；
由於函數是定義在\(R\)上的奇函數，故\(f(0)=0\)，則\(f(4)=f(4-4)=f(0)=0\)，
令\(x=0\)，則由\(f(2-x)=-f(-x)\)可得到\(f(2-0)=-f(-0)=f(0)=0\)，即\(f(2)=0\)，
\(f(3)=f(3-4)=f(-1)=-f(1)=-2\)，故\(f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=0\)，
即所求\(f(1)+f(2)+f(3)+\cdots+f(50)\)
\(=12[f(1)+f(2)+f(3)+f(4)]+f(1)+f(2)\)
\(=f(1)+f(2)=2\)，故選\(C\)。
分析：先將右側的常數\(2\)函數化，\(2=1+1=f(3)+f(3)=f(3\times3)=f(9)\)，
而左側的\(f(x)+f(x-8)\)需要融合為一個\(f\)的形式，此時需要逆用到題目中的\(f(xy)=f(x)+f(y)\)，即\(f(x)+f(y)=f(xy)\)，
故\(f(x)+f(x-8)=f[x(x-8)]\)，則原不等式等價於\(f[x(x-8)]\leqslant f(9)\)，
等價轉化為\(\begin{cases}x>0\\x-8>0\\x(x-8)\leq 9\end{cases}\)， 解得\(8<x\leq 9\)。
分析：函數的定義域為\((0，+\infty)\)，且在定義域上單調遞增，故由\(f(x^2-4)<f(1)\)，
得到\(\left\{\begin{array}{l}{x^2-4>0}\\{x^2-4<1}\end{array}\right.\) 解得\(-\sqrt{5}<x<-2\)或\(2<x<\sqrt{5}\)，
故填寫\((-\sqrt{5}，2)\cup(2，\sqrt{5})\)。
分析：先求定義域，由於\(\sqrt{x^2+1}\ge \pm \sqrt{x^2}\)，故定義域為\((-\infty，+\infty)\)，
又由於\(f(-x)=ln(\sqrt{x^2+1}-x)\)，故\(f(x)+f(-x)=ln1=0\)，故函數為奇函數。
當\(x\in [0，+\infty)\)時，\(x^2\nearrow\)，\(1+x^2\nearrow\)，\(\sqrt{1+x^2}\nearrow\)，\(x+\sqrt{1+x^2}\nearrow\)，
\(y=ln(x+\sqrt{1+x^2})\nearrow\)，則由奇函數可知在\((-\infty，+\infty)\)上，\(f(x)\nearrow\)，
故由定義域為\(R\)，奇函數，單調遞增，則由\(f(x-1)+f(x)>0\)，
得到\(f(x-1)>-f(x)=f(-x)\)，即\(x-1>-x\)，解得\(x>\cfrac{1}{2}\)，即\(x\in (\cfrac{1}{2}，+\infty)\)。
【變式1】已知奇函數\(f(x)\)定義域為\(R\)，且單調遞增，若\(f(x-1)+f(x)>0\)，求\(x\)的取值范圍；
【變式2】已知定義在\(R\)上的函數\(f(x)\)滿足\(f(-x)+f(x)=0\)，且在\(x\in [0，+\infty)\)上時，恆有\(f'(x)\geqslant 0\)成立，若\(f(x-1)+f(x)>0\)，求\(x\)的取值范圍；
【變式3】已知定義在\(R\)上的函數\(f(x)\)圖像關於原點對稱，且在\(x_1,x_2\in [0，+\infty)\)上時，有\(\cfrac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}>0(x_1\neq x_2)\)成立，若\(f(x-1)+f(x)>0\)，求\(x\)的取值范圍；
分析：這類題目往往需要取得符號\(f\)，而在此之前，需要轉化為\(f(M)<( 或>)f(N)\)的形式，
然后利用定義域和單調性去掉對應法則符號，就轉化為了一般的不等式組了。
解析：先求定義域，令\(\cfrac{1+x}{1-x}>0\)，解得定義域\((-1，1)\)；
再求奇偶性，\(f(-x)=ln\cfrac{1-x}{1+x}-sinx\)，\(f(x)=ln\cfrac{1+x}{1-x}+sinx\)，所以\(f(-x)+f(x)=0\)，故函數為奇函數；
最后分析單調性，
法一，基本函數法，令\(g(x)=ln\cfrac{1+x}{1-x}=ln(-1-\cfrac{2}{x-1})\)，由於\(u=-1-\cfrac{2}{x-1}\)為增函數，
所以函數\(g(x)\)為增函數，故函數\(f(x)=g(x)+sinx\)為\((-1，1)\)上的增函數，
法二，導數法，\(f'(x)=\cfrac{2}{1-x^2}+cosx>0\)，故函數\(f(x)\)為\((-1，1)\)上的增函數，到此需要的性質基本備齊了，
由\(f(a-2)+f(a^2-4)<0\)，變換得到\(f(a-2)<-f(a^2-4)=f(4-a^2)\)，
由定義域和單調性得到以下不等式組：
\(\begin{cases}-1<a-2<1\\ -1<a^2-4<1 \\a-2<4-a^2 \end{cases}\)，解得\(\sqrt{3}<a<2\)，故選\(A\)。
【法1】：基礎作圖法，利用給定的關系式得到函數在每一段上的解析式，然后分段作圖。由\(f(x)=f(x-1)\)可知\(T=1\)；
當\(0<x\leqslant 1\)時，\(x-1\leqslant 0\)，故\(f(x)=f(x-1)=2^{-(x-1)-1}=2^{1-x}-1\)；
當\(1<x\leqslant 2\)時，\(x-2\leqslant 0\)，故\(f(x)=f(x-2)=2^{-(x-2)-1}=2^{2-x}-1\)；
當\(2<x\leqslant 3\)時，\(x-3\leqslant 0\)，故\(f(x)=f(x-2)=2^{-(x-3)-1}=2^{3-x}-1\)；
\(\cdots\)，\(\cdots\)，\(\cdots\)，
依此類推，得到如下的解析式：
依托上述解析式，我們就能容易做出靜態函數\(y=f(x)\)和動態函數\(y=x+a\)的圖像於同一個坐標系，
利用圖像，就能輕松看出參數\(a\)的取值范圍為\(a\in (-\infty，1)\)。
【法2】：快速作圖法，解讀給定的分段函數的解析式，第一段其實是作圖的基礎，難點是如何利用第二段來作圖，
由於\(f(x)=f(x-1)(x>0)\)，說明函數在\((0，+\infty)\)上部分圖像向右有周期性\(T=1\)，
又由於\(f(x-1)\)的圖像是把\(f(x)\)的圖像向右平移一個單位得到，故將第一段向右平移一個單位，然后截取圖像的\((0,1]\)區間上的部分即可。
這樣，在區間\((1,2]\)段上的圖像，就是將\((0,1]\)段上的圖像向右平移一個單位即可，
在區間\((2,3]\)段上的圖像，就是將\((1,2]\)段上的圖像向右平移一個單位即可，以此類推，
得到區間\((0，+\infty)\)上的所有圖像，然后在同一個坐標系中再做出動態函數\(y=x+a\)的圖像，
利用圖像，就能輕松看出參數\(a\)的取值范圍為\(a\in (-\infty，1)\)。
解后反思：函數與方程的相互等價轉化，數形結合思想； 特殊分段函數的圖像做法； 分段函數中只包含周期性的圖像做法；