基本初等函數的微分公式與微分運算法則

從函數的微分的表達式

\[\mathrm { d } y = f ^ { \prime } ( x ) \mathrm { d } x \]

可以看出，要計算函數的微分，只要計算函數的導數，再乘以自變量的微分.因此，可得如下的微分公式和微分運算法則.

1.基本初等函數的微分公式

由基本初等函數的導數公式，可以直接寫出基本初等函數的微分公式.為了便於對照，列表於下：

2.函數和、差、積、商的微分法則

由函數和、差、積、商的求導法則，可推得相應的微分法則.為了便於對照，列成下表（表中u=u（x），v=v（x）都可導）.

再根據乘積的求導法則，有

\[( u v ) ^ { \prime } = u ^ { \prime } v + u v ^ { \prime } \]

現在我們以乘積的微分法則為例加以證明.
根據函數微分的表達式，有

\[\mathrm { d } ( u v ) = ( u v ) ^ { \prime } \mathrm { d } x \]

於是: \(\mathrm { d } ( u v ) = \left( u ^ { \prime } v + u v ^ { \prime } \right) \mathrm { d } x = u ^ { \prime } v \mathrm { d } x + u v ^ { \prime } \mathrm { d } x\)

由於: \(u ^ { \prime } \mathrm { d } x = \mathrm { d } u , \quad v ^ { \prime } \mathrm { d } x = \mathrm { d } v\)

所以: \(\mathrm { d } ( u v ) = v \mathrm { d } u + u \mathrm { d } v\)

其他法則都可以用類似方法證明。

3.復合函數的微分法則

與復合函數的求導法則相應的復合函數的微分法則可推導如下：

設 \(y=f(u)\)及\(u=g(x)\)都可導，則復合函數\(y = f [ g ( x ) ]\)的微分為

\[\mathrm { d } y = y _ { x } ^ { \prime } \mathrm { d } x = f ^ { \prime } ( u ) g ^ { \prime } ( x ) \mathrm { d } x \]

由於\(g'(x)dx=du\)，所以，復合函數\(y=f[g(x)]\)微分公式也可以寫成

\(\mathrm { d } y = f ^ { \prime } ( u ) \mathrm { d } u\) 或 \(\mathrm { d } y = y ^ { \prime } _ { u } \mathrm { d } u\)

由此可見，無論\(u\)是自變量還是中間變量，微分形式\(dy=f'(u)du\)保持不變.這一性質稱為微分形式不變性.這性質表示，當變換自變量時，微分形式\(dy=f'(u)du\)並不改變.

---

參考： 《高等數學》同濟六版 -> P116