初等函數——冪函數（Power Function）

　　冪函數（Power function）是形如f(x)=x^a的函數，a∈R是實數。即以底數為自變量，冪為因變量，指數為常數的函數稱為冪函數。

性質

　　冪函數的圖像一定會出現在第一象限內，一定不會出現在第四象限，至於是否出現在第二、三象限內，要看函數的奇偶性；冪函數的圖像最多只能同時出現在兩個象限內。

1. 取正值

　　當α>0時，冪函數y=x^α有下列性質：

　　a、圖像都經過點（1,1）(0,0）；

　　b、函數的圖像在區間[0,+∞)上是增函數；

　　c、在第一象限內，α>1時，導數值逐漸增大；α=1時，導數為常數；0<α<1時，導數值逐漸減小，趨近於0；

2. 取負值

　　當α<0時，冪函數y=x^α有下列性質：

　　a、圖像都通過點（1,1）；

　　b、圖像在區間（0，+∞）上是減函數；

　　c、在第一象限內，有兩條漸近線（即坐標軸），自變量趨近0，函數值趨近+∞，自變量趨近+∞，函數值趨近0。

3. 取零

　　當α=0時，冪函數y=x^a有下列性質：

　　a、y=x⁰的圖像是直線y=1去掉一點（0,1）。它的圖像不是直線。

 

定義域和值域

　　冪函數的一般形式是y=xⁿ，其中，n可為任何實數，但我們僅考慮n為有理數的情形，這時可表示為y=x^(m/k)，其中m∈Z，k∈N*，且m，k互質。特別，當k=1時為整數指數冪。

　　(1)當m，k都為正奇數時，如y=x，y=x³，y=x^(3/5)等，定義域、值域均為R，為奇函數；

　　(2)當m為負奇數，k為正奇數時，如y=x^(-1)=1/x，y=x^(-3)=1/x³，y=x^(-3/5)等，定義域、值域均為{x∈R|x≠0}，也就是(-∞，0)∪(0，+∞)，為奇函數；

　　(3)當m為正奇數，k為正偶數時，如y=x^(1/2)，y=x^(3/4)等，定義域、值域均為[0，+∞)，為非奇非偶函數；

　　(4)當m為負奇數，k為正偶數時，如y=x^(-1/2)，y=x^(-3/4)等，定義域、值域均為(0，+∞)，為非奇非偶函數；

　　(5)當m為正偶數，k為正奇數時，如y=x²，y=x^(2/3)等，定義域為R、值域為[0，+∞)，為偶函數；

　　(6)當m為負偶數，k為正奇數時，如y=x^(-2)=1/x²，y=x^(-2/3)等，定義域為{x∈R|x≠0}，也就是(-∞，0)∪(0，+∞)，值域為(0，+∞)，為偶函數。

 

由於x大於0是對α的任意取值都有意義的，因此下面給出冪函數在各象限的各自情況。可以看到：

（1）所有的圖像都通過（1， 1）；（a≠0，a>0）時，圖像過點（0, 0）和（1， 1）

（2）單調區間：

當α為整數時，α的正負性和奇偶性決定了函數的單調性：

①當α為正奇數時，圖像在定義域為R內單調遞增；

②當α為正偶數時，圖像在定義域為第二象限內單調遞減，在第一象限內單調遞增；

③當α為負奇數時，圖像在第一三象限各象限內單調遞減（但不能說在定義域R內單調遞減）；

④當α為負偶數時，圖像在第二象限上單調遞增，在第一象限內單調遞減。

當α為分數時，α的正負性和分母的奇偶性決定了函數的單調性：

①當α>0，分母為偶數時，函數在第一象限內單調遞增；

②當α>0，分母為奇數時，函數在第一、三象限各象限內單調遞增；

③當α<0，分母為偶數時，函數在第一象限內單調遞減；

④當α<0，分母為奇數時，函數在第一、三象限各象限內單調遞減（但不能說在定義域R內單調遞減）；

（3）當α>1時，冪函數圖形下凹（豎拋）；

當0<α<1時，冪函數圖形上凸（橫拋）。

當α<0時，圖像為雙曲線。

（4）在（0,1）上，冪函數中α越大，函數圖像越靠近x軸；在（1，﹢∞）上冪函數中α越大，函數圖像越遠離x軸。

（5）當α<0時，α越小，圖形傾斜程度越大。

（6）顯然冪函數無界限。

（7）α=2n（n為整數）,該函數為偶函數 {x|x≠0}。