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模塊導圖
知識剖析
定義
一般地，形如\(y=x^α\)的函數稱為冪函數，其中\(x\)是自變量，\(α\)為常數．
常見冪函數圖像
性質
(1) 所有的冪函數在\((0 ,+∞ )\)都有定義，並且圖象都過點\((1 ,1)\)；
(2) \(α>0\)時，冪函數的圖象通過原點，並且在\([0 ,+∞ )\)上是增函數．
特別地，當\(α>1\)時，冪函數變化快，圖象下凹；當\(0<α<1\)時，冪函數變化慢，圖象上凸；
(3) \(α<0\)時，冪函數的圖象在\((0 ,+∞ )\)上是減函數．在第一象限內，當\(x\)從右邊趨向原點時，圖象在\(y\)軸右方無限地逼近\(y\)軸正半軸，當\(x\)趨於\(+∞\)時，圖象在\(x\)軸上方無限地逼近\(x\)軸正半軸．
經典例題
【典題1】 已知冪函數\(f(x)\)過點\(\left(2, \dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)\)，則 ( )
A．\(f(x)=x^{-\frac{1}{2}}\)，且在\((0 ,+∞)\)上單調遞減
B．\(f(x)=x^{-\frac{1}{2}}\)，且在\((0 ,+∞)\)單調遞增
C．\(f(x)=x^{\frac{1}{2}}\)，且在\((0 ,+∞)\)上單調遞減
D．\(f(x)=x^{\frac{1}{2}}\)，且在\((0 ,+∞)\)上單調遞增
【解析】 \(∵\)冪函數\(f(x)=x^a\)過點\(\left(2, \dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)\)，
\(\therefore f(2)=2^{a}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\)，解得\(a=-\dfrac{1}{2}\)，
\(\therefore f(x)=x^{-\frac{1}{2}}\)，在\((0 ,+∞)\)上單調遞減．
故選：\(A\)．
【點撥】 利用待定系數法求解函數解析式.
【典題2】 下列命題中：
①冪函數的圖象都經過點\((1 ,1)\)和點\((0 ,0)\)；
②冪函數的圖象不可能在第四象限；
③當\(n=0\)時，冪函數\(y=x^n\)的圖象是一條直線；
④當\(n>0\)時，冪函數\(y=x^n\)是增函數；
⑤當\(n<0\)時，冪函數在第一象限內的函數值隨x的值增大而減小．
其中正確的是( )
A．①和④ \(\qquad \qquad \qquad \qquad\)B．④和⑤ \(\qquad \qquad \qquad \qquad\)C．②和③ \(\qquad \qquad \qquad \qquad\)D．②和⑤
【解析】 ①冪函數的圖象都經過點\((1 ,1)\)，但不一定經過點\((0 ,0)\)，比如\(y=\dfrac{1}{x}\)，故錯誤；
②冪函數的圖象不可能在第四象限，故正確；
③當\(n=0\)時，冪函數\(y=x^n\)的圖象是一條直線去除\((0 ,1)\)點，故錯誤；
④當\(n>0\)時，如\(y=x^2\)，冪函數\(y=x^n\)在\((0 ,+∞)\)上是增函數，但在整個定義域為不一定是增函數，故錯誤；
⑤當\(n<0\)時，冪函數\(y=x^n\)在\((0 ,+∞)\)上是減函數，即冪函數在第一象限內的函數值隨\(x\)的值增大而減小，故正確．
故選：\(D\)．
【典題3】 如圖所示是函數\(y=x^{\frac{m}{n}}\)(\(m\)、\(n∈N^*\)且互質)的圖象，則( )
A．\(m\)、\(n\)是奇數且\(\dfrac{m}{n}<1\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad\)B．\(m\)是偶數，\(n\)是奇數，且\(\dfrac{m}{n}>1\)
C．\(m\)是偶數，\(n\)是奇數，且\(\dfrac{m}{n}<1\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) D．\(m\)、\(n\)是偶數，且\(\dfrac{m}{n}>1\)
【解析】 \(∵\)函數\(y=x^{\frac{m}{n}}\)的圖象的圖象關於\(y\)軸對稱，
故\(n\)為奇數，\(m\)為偶數，
在第一象限內，函數是凸函數，故\(\dfrac{m}{n}<1\)，
故選：\(C\).
鞏固練習
1(★)已知冪函數\(f(x)\)的圖象經過點\(\left(2, \dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)\)，則\(f(4)\)的值為\(\underline{\quad \quad }\)．
2(★)已知\(\alpha \in\left\{-2,-1,-\dfrac{1}{2}, \dfrac{1}{2}, 1,2,3\right\}\)，若冪函數\(f(x)=x^α\)為奇函數，且在\((0 ,+∞)\)上遞減，則\(α=\)\(\underline{\quad \quad }\)．
3(★)圖中曲線是冪函數\(y=x^n\)在第一象限的圖象，已知\(n\)取\(±2\),\(\pm \dfrac{1}{2}\)四個值，則相應於曲線\(C_1\)，\(C_2\),\(C_3\),\(C_4\)的\(n\)依次為( )
A．\(-2,-\dfrac{1}{2}, \dfrac{1}{2}, 2\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\qquad \qquad\) B．\(2, \dfrac{1}{2},-2,-\dfrac{1}{2}\)
C．\(-\dfrac{1}{2},-2,2, \dfrac{1}{2}\) \(\qquad \qquad\qquad \qquad \qquad \qquad\) D．\(2, \dfrac{1}{2},-\dfrac{1}{2},-2\)
4(★★) 已知冪函數\(y=x^{\frac{p}{q}}\)，(\(p\),\(q∈Z\))的圖象如圖所示，則( )
A．\(p\),\(q\)均為奇數，且\(\dfrac{p}{q}>0\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) B．\(q\)為偶數，\(p\)為奇數，且\(\dfrac{p}{q}<0\)
C．\(q\)為奇數，\(p\)為偶數，且\(\dfrac{p}{q}>0\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) D．\(q\)為奇數，\(p\)為偶數，且\(\dfrac{p}{q}<0\)
5(★★)已知冪函數\(f(x)=x^{m^{2}-2 m-3}\)\((m∈Z)\)的圖象關於原點對稱，且在\((0 ,+∞)\)上是減函數，則\(m=\)( )
A．\(0\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\)B．\(0\)或\(2\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\)C．\(0\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\)D．\(2\)
參考答案
1.\(\dfrac{1}{2}\)
2.\(-1\)
3.\(D\)
4.\(D\)
5.\(B\)