冪函數

目錄

1. 基本概念
2. python畫圖
3. 定義域和值域
4. 性質
5. 單調區間
6. 特性

一、基本概念

冪函數是基本初等函數之一。
一般地，y = x^a （α為有理數）的函數，即以底數為自變量，冪為因變量，指數為常數的函數稱為冪函數。例如函數y = x⁰  、y =  x¹ 、y = x² 、y = x^-1 （注：y = x^-1 =1/x、y = x⁰時x≠0）等都是冪函數。

 

二、python畫圖

import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
from scipy import stats

x=np.linspace(-5,5, 500,dtype=float)
y=np.power(x,2)
y1=np.power(x,3)
y2=np.power(x,0.5)
plt.plot(x,y,color='r',label='y=x^2')
plt.plot(x,y1,color='g',label='y=x^3')
plt.plot(x,y2,color='y',label='y=x^0.5')
plt.legend(loc='upper right')#把圖例放在右上角
plt.show()

 

 

三、定義域和值域

冪函數的一般形式是 y = x^a  ，其中，a可為任何常數

這個數據太復雜了，想看定義域和值域，只看畫圖看吧，我把畫圖函數放在這里

import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
from scipy import stats

def mi_plot(a):
    x=np.linspace(-5,5, 500,dtype=float)
    y=np.power(x,a)
    b='y=x^'+str(a)
    plt.plot(x,y,color='r',label=b)
    plt.legend(loc='upper right')#把圖例放在右上角
    plt.show()

mi_plot(0)
mi_plot(1/2)
mi_plot(1)
mi_plot(1.5)
mi_plot(2)
mi_plot(2.5)
mi_plot(3)

 

 

 

 

四、性質

正值性質

當α>0時，冪函數y=x^a  有下列性質：

a、圖像都經過點（1,1）（0,0）；

b、函數的圖像在區間[0,+∞）上是增函數；

c、在第一象限內，α>1時，導數值逐漸增大；α=1時，導數為常數；0<α<1時，導數值逐漸減小，趨近於0（函數值遞增）；

負值性質

當α<0時，冪函數y=x^a  有下列性質：

a、圖像都通過點（1,1）；

b、圖像在區間（0，+∞）上是減函數。

c、在第一象限內，有兩條漸近線（即坐標軸），自變量趨近0，函數值趨近+∞，自變量趨近+∞，函數值趨近0。

零值性質

當α=0時，冪函數y=x^a有下列性質：

a、y=x^a的圖像是直線y=1去掉一點（0,1）。它的圖像不是直線。

 

五、單調區間

單調區間：
當α為整數時，α的正負性和奇偶性決定了函數的單調性：
①當α為正奇數時，圖像在定義域為R內單調遞增；

mi_plot(3)

②當α為正偶數時，圖像在定義域為第二象限內單調遞減，在第一象限內單調遞增；

mi_plot(4)

③當α為負奇數時，圖像在第一三象限各象限內單調遞減（但不能說在定義域R內單調遞減）；

mi_plot(-1)

④當α為負偶數時，圖像在第二象限上單調遞增，在第一象限內單調遞減。

mi_plot(-2)

當α為分數時（且分子為1），α的正負性和分母的奇偶性決定了函數的單調性：
①當α>0，分母為偶數時，函數在第一象限內單調遞增；

mi_plot(1/2)

②當α>0，分母為奇數時，函數在第一三象限各象限內單調遞增；

mi_plot(1/5)

③當α<0，分母為偶數時，函數在第一象限內單調遞減；

mi_plot(-1/2)

④當α<0，分母為奇數時，函數在第一三象限各象限內單調遞減（但不能說在定義域R內單調遞減）；

mi_plot(-1/3)

 

 

六、特性

對於α的取值為非零有理數，有必要分成幾種情況來討論各自的特性：
首先我們知道如果 a = p/q，q和p都是整數，則 :

如果q是奇數，函數的定義域是R;如果q是偶數，函數的定義域是[0,+∞）。
當指數α是負整數時，設α=-k，則 ，顯然x≠0，函數的定義域是（－∞，0）∪（0,+∞）。因此可以看到x所受到的限制來源於兩點，一是有可能作為分母而不能是0，一是有可能在偶數次的根號下而不能為負數，那么我們就可以知道：
α小於0時，x不等於0；
α的分母為偶數時，x不小於0；
α的分母為奇數時，x取R。