初等解析函數和多值函數的解析分支

定義2.4.1 \ (多值函數的連續分支) \(\Omega\)區域, \(\mathbb{F}(z)\)為\(\Omega\)上的多值函數, 若\(f(z)\)在\(\Omega\)上連續, 且對於任意的\(z\in\Omega\), \(f(z)\in\mathbb{F}(z)\), 則稱\(f(z)\)為\(\mathbb{F}(z)\)在區域\(\Omega\)上的連續分支.

定義2.4.2 \ (多值函數的解析分支) \(\Omega\)區域, \(\mathbb{F}(z)\)為\(\Omega\)上的多值函數, 若\(f(z)\)在\(\Omega\)上解析, 且對於任意的\(z\in\Omega\), \(f(z)\in\mathbb{F}(z)\), 則稱\(f(z)\)為\(\mathbb{F}(z)\)在區域\(\Omega\)上的解析分支.

例2.4.3 指數函數的性質

(1) \(\forall z=x+i y\in\mathbb{C}, e^z=e^x(\cos y+i\sin y).\)
(2) \(z=x\in\mathbb{R}\), \(e^z\)與通常實指數函數的定義一致.
(3) \(|e^z|=e^x>0.\)
(4) \(e^z\)在\(z\)平面上解析, 且\((e^z)'=e^z.\)
(5) \(e^{z_1+z_2}=e^{z_1}e^{z_2}.\)
(6) \(e^z\)以\(2i\pi\)為基本周期.

定義2.4.4 規定對數函數是指數函數的反函數, 即若\(z\neq 0,\infty,\)滿足\(z=e^w\)的復數\(w\)稱為\(z\)的對數值, \(z\)的一切對數值的集合稱為\(z\)的對數, 記作\(Ln z\).

具體地, \(Ln z=\{\ln|z|+i\arg z+i2k\pi, k\in\mathbb{Z}\}.\)
若把\(\ln|z|+i\arg z\)稱為主值, 記作\(\ln z\), 則\(Ln z=\{\ln z+i2k\pi, k\in\mathbb{Z}\}.\)

注:若把\(z\)看作非零復數, \(Ln z\)的定義域為\(\mathbb{C}-\{0\}.\)

\[Ln(z_{1}z_{2})=Ln z_1+Ln z_2, Ln(\frac{z_1}{z_2})=Ln z_1-Ln z_2. \]

定理2.4.5 \ (解析函數的對數解析分支) \(\Omega\)單連通區域, \(f(z)\)在\(\Omega\)中解析且處處非零, 則\(Ln f(z)\)在\(\Omega\)上有解析分支\(g(z)\), 滿足\(e^{g(z)}=f(z),\) 且\(Ln f(z)\)在\(\Omega\)上的所有解析分支一定是\(g(z)+2ik\pi, k\in\mathbb{Z},\) 即 \(Ln f(z)=\{g(z)+i2k\pi, k\in\mathbb{Z}\}.\) 從而\(Ln f(z)\)在\(\Omega\)上有無窮多個解析分支, 且任意兩個解析分支相差\(2\pi\)的整數倍.

注：(1)定理2.4.5 表明, 若\(Ln f(z)\)在單連通區域\(\Omega\)上的任意兩個解析分支在\(z_0\in\Omega\)上的值相等, 則這兩個解析分支恆相等.

(2) 為方便, \(Ln f(z)\)在\(\Omega\)上的解析分支\(g(z)\)有時簡記為\(\ln f(z)\), 若強調是特定的一支, 要給定\(z_0\in\Omega\), 確定出\(\ln f(z)\)在\(z_0\)的值.

例2.4.6 (對數函數的解析分支) \ \(\Omega\)單連通區域, \(z_0\not\in\Omega,\) 則\(Ln(z-z_0)\)在\(\Omega\)上有解析分支\(\ln_{\Omega}(z-z_0)\), 滿足\(e^{\ln_{\Omega}(z-z_0)}=z-z_0\), 且\(Ln(z-z_0)\)在\(\Omega\)上所有的解析分支一定是\(\ln_{\Omega}(z-z_0)+2k\pi i, k\in\mathbb{Z}.\)

證明：令\(f(z)=z-z_0\), 則\(f(z)\)在\(\Omega\)上解析, 處處不為零, 由定理2.4.5, 成立.

例2.4.7 (多值輻角函數的連續分支) \(\Omega\)單連通區域, \(z_0\not\in\Omega\), 則\(Arg(z-z_0)\)在\(\Omega\)內有連續分支\(\arg_{\Omega}(z-z_0)\), 在\(\Omega\)上, 對\(x,y\)有各階偏導數, 且\(Arg(z-z_0)=\{\arg_{\Omega}(z-z_0)+2k\pi, k\in\mathbb{z}\}.\) 從而\(Arg(z-z_0)\)在\(\Omega\)中有無窮多連續分支, 任意兩個相差\(2\pi\)的整數倍.

注：\(\arg(z-z_0)\)不解析.

注：設\(\Gamma: z=\gamma(t), \ t\in[a,b]\)是一條分段光滑的有向曲線(簡稱路徑), 若\(0\not\in\Gamma\), 即\(\gamma(t)\)在\([a,b]\)上不取零值, 則存在\(\rho(t)=|\gamma(t)|,\theta(t), t\in[a,b],\) 分段光滑實函數, 使得\(\gamma(t)=\rho(t)e^{i\theta(t)}\).

定理2.4.8 (解析函數的n方根的解析分支) 設\(n\geq2\), \(\Omega\)單連通區域, \(f(z)\)在\(\Omega\)內解析, 處處不為零, 則\((f(z))^{1/n}\)在區域\(D\)內有解析分支\(g(z)\), 且\((f(z))^{1/n}\)的所有解析分支是\(g(z)e^{2k\pi i/n},k=0,1,...,n-1\)的形式.

定理2.4.9 (連續函數為n方根的解析分支的判定定理) \(n\geq2\)是整數, \(\Omega\)區域, \(f(z)\)在\(\Omega\)中解析且處處不為零, \(g(z)\)為\((f(z))^{1/n}\)的連續分支, \(z\in \Omega\), 則\(g(z)\)為\((f(z))^{1/n}\)在\(\Omega\)上的解析分支.

例2.4.10 證明多值函數\((z^2(1-z)^3)^{1/5}\)在\(z\)-平面上割去線段[0,1]的區域\(D\)上可以分出5個解析分支. 求出在(0,1)的上沿取正值的那個單值解析分支\(g_0(z)\)在點\(z=-1\)處的值\(g_0(-1)\)以及\(g_0'(-1),g_0''(-1)\).