在線|二輪輔導[03][函數與導數01]

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思維導圖

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典例剖析

微專題1 對函數圖像的使用訓練[識圖用圖意識]

用導函數的圖像判斷原函數的單調性

復合函數的求導運算

例1 ①設\(f(x)=sin(2x+1)\)，求導函數\(f'(x)\)；

分析：我們目前一般只涉及一次復合的函數如\(y=f(u)\)和\(u=g(x)\)，

則復合函數為\(y=f[g(x)]\)，\([f(g(x))]'=f'[g(x)]\cdot g'(x)\)；

令\(\phi=2x+1\)，則\(y=f(x)=sin\phi\)，故\(f'(x)=y'_x=y'_{\phi}\cdot \phi'_x=cos\phi\cdot 2=2cos(2x+1)\)；

②設\(g(x)=ln(x^2+3x)\)，求導函數\(g'(x)\)；

分析：\(g'(x)=\cfrac{1}{x^2+3x}\cdot (x^2+3x)'=\cfrac{2x+3}{x^2+3x}\)；

說明：函數\(f(x)=x^2\pm lnx\)，不是復合函數，只是兩個函數\(y=x^2\)與函數\(y=lnx\)之間用四則運算構成的一個新函數。

③[抽象復合函數的求導]設\(g(x)=x\cdot f(2x)\)，求\(g'(x)\)

分析：\(g'(x)=[x\cdot f(2x)]'=x'\cdot f(2x)+x\cdot f'(2x)\cdot (2x)'=f(2x)+2x\cdot f'(2x)\)

• 注意：復合函數求導時的運算，如對\(y=ln(\cfrac{1+x}{1-x})\)直接求導，不如變形為\(y=ln(1+x)-ln(1-x)\)后求導；

練習 若\(f(x)=e^{-x}\)，則\(f'(x)=-e^{-x}\)；若\(f(x)=e^{2x}\)，則\(f'(x)=2e^{2x}\)；

若\(f(x)=cos(2x+\cfrac{\pi}{3})\)，則\(f'(x)=-2sin(2x+\cfrac{\pi}{3})\)；

若已知\(f(2x+3)\)，則\([f(2x+3)]'=2f'(2x+3)\)；

題型Ⅰ 求曲線\(f(x，y)=0\)或函數\(y=f(x)\)的切線

• 類型1：一曲線一直線的單切線形

思路方法：若是在點處，利用點斜式寫出切線方程：\(y-f(x_0)=f'(x_0)(x-x_0)\)；若是過點處，則設切點\((x_0，y_0)\)，然后利用方程組求切點，再代入計算切線即可。

例2 【在點處】【2017全國卷1文科第14題高考真題】曲線\(y=x^2+\frac{1}{x}\)在點\((1，2)\)處的切線方程是__________。

分析：利用點斜式來求解，

其中斜率\(k=f'(x)_{|x=1}=(2x-\cfrac{1}{x^2})_{|x=1}=1\)，切點是\((1，2)\)，

故切線方程為\(y-2=1(x-1)\)，整理為\(y=x+1\)。

例3 【過點處】：求曲線\(C:y=\cfrac{1}{3}x^3+\cfrac{4}{3}\)經過點\(P(2，4)\)的切線方程；（\(4x-y-4=0\)或\(x-y+2=0\)）

分析：設經過點\(P(2，4)\)的切線方程與曲線相切於點\(P_0(x_0，y_0)\)，則有

\(\begin{cases}y_0=\cfrac{1}{3}x_0^3+\cfrac{4}{3}\\ k=f'(x_0)=x_0^2\\ y-y_0=f'(x_0)(x-x_0) \end{cases}\)

又因為點\(P(2，4)\)在切線方程上，則有\(4-(\cfrac{1}{3}x_0^3+\cfrac{4}{3})=x_0^2(2-x_0)\)

整理得到，\(x_0^3-3x_0^2+4=0\)

\(x_0^3-3x_0^2+4=(x_0^3+1)-3(x_0^2-1)\)

\(=(x_0+1)(x_0^2-x_0+1)-3(x_0+1)(x_0-1)\)

\(=(x_0+1)(x_0^2-x_0+1-3x_0+3)\)

\(=(x_0+1)(x_0-2)^2=0\)；

即\((x_0+1)(x_0-2)^2=0\)，解得\(x_0=-1\)，或\(x_0=2\)

當\(x_0=-1\)時，切點為\((-1，1)\)，\(k_1=1\)，切線方程為\(x-y+2=0\)；

當\(x_0=2\)時，切點為\((2，4)\)，\(k_2=4\)，切線方程為\(4x-y-4=0\)；

注意：常用的變形方法有試商法、分組分解法、多項式除法；

例4 【需要作為求解模型來看待和使用】函數\(y=kx\)與函數\(y=lnx\)相切於點\(Q\)，求點\(Q\)的坐標。\((e，1)\)

分析：設函數\(y=kx\)與函數\(y=lnx\)切點為\(Q(x_0,y_0)\)，則有

\(\begin{cases} y_0=kx_0 \\ y_0=lnx_0 \\ k=f'(x_0)=\cfrac{1}{x_0}\end{cases}\)；

從而解得\(x_0=e,y_0=1,k=\cfrac{1}{e}\)，故切點\(Q\)的坐標為\((e，1)\)

例5 直線\(y=x\)上的動點為\(P\)，函數\(y=lnx\)上的動點是\(Q\)，求\(|PQ|\)的最小值。

思路：平行線法，設和直線\(y=x\)平行且和函數\(y=lnx\)相切的直線為\(y=x+m\)，

切點為\(P_0(x_0,y_0)\)，則有\(\begin{cases} y_0=x_{0}+ m \\ y_0=lnx_0 \\ f'(x_0)=\cfrac{1}{x_0}=1\end{cases}\)；

從而解得\(x_0=1,y_0=0,m=-1\)所以所求的點點距的最小值，就轉化為切點\(P_0(1,0)\)到直線\(y=x\)的點線距，

或者兩條直線\(y=x,y=x-1\)的線線距了。

解后反思：此題目可以引申為曲線上的點到直線上的點的最小值，使用平行線法。比如：

題目1：直線\(y=x\)上的動點為\(P\)，函數\(y=lnx\)上的動點是\(Q\)，求\(|PQ|\)的最小值。

題目2：直線\(y=x\)上的點為\(P(x，y)\)，函數\(y=lnx\)上的點是\(Q(m，n)\)，求\(\sqrt{(x-m)^2+(y-n)^2}\)的最小值。

例6 【2017鳳翔中學高三理科第二次月考第12題】將函數\(y=lnx\)的圖像繞坐標原點\(O\)逆時針旋轉角\(\theta\)后第一次與\(y\)軸相切，則角\(\theta\)滿足的條件是【】

$A.sin\theta=ecos\theta$ $B.esin\theta=cos\theta$ $C.esin\theta=1$ $D.ecos\theta=1$

分析：先仿上例3先求得過坐標原點與\(y=lnx\)相切的直線是\(y=\cfrac{1}{e}x\)，切點是\((e，1)\)，

設切線的傾斜角是\(\phi\)，則\(tan\phi=\cfrac{1}{e}\)，若切線繞坐標原點旋轉角\(\theta\)后切線變成了\(y\)軸，

由\(cot\theta=tan\phi=\cfrac{1}{e}\)可得， \(\cfrac{cos\theta}{sin\theta}=\cfrac{1}{e}\)，即\(sin\theta=ecos\theta\)，故選\(A\)。

例7 【2016•福州模擬】點\(P\)是曲線\(x^2－y－2ln\sqrt{x}＝0\)上任意一點，則點\(P\)到直線\(4x＋4y＋1＝0\)的最小距離是【 】

$A.\cfrac{\sqrt{2}}{2}(1-ln2)$ $B.\cfrac{\sqrt{2}}{2}(1+ln2)$ $C.\cfrac{\sqrt{2}}{2}(\cfrac{1}{2}+ln2)$ $D.\cfrac{1}{2}(1+ln2)$

分析：當在曲線上試圖尋找一點，讓它到直線的距離最小，思考不便於展開時，不妨換位思考，讓直線平行移動到和曲線相切得到一個切點，那么所求距離就是切點到直線的點線距，或者是兩條平行線之間的線線距。

解析：將函數化簡整理為\(y=f(x)=x^2-lnx(x>0)\)，

再設與已知直線平行的且與曲線相切的直線為\(4x+4y+c=0\)，

切點為\((x_0，y_0)\)，則由\(f'(x)=2x-\cfrac{1}{x}\)，

得到\(\begin{cases}k=f'(x_0)=2x_0-\cfrac{1}{x_0}=-1①\\4x_0+4y_0+c=0②\\y_0=x_0^2-lnx_0③\end{cases}\)，

解①得到\(x_0=-1(舍去)\)或\(x_0=\cfrac{1}{2}\)，代入③得到\(y_0=\cfrac{1}{4}+ln2\)，

故切點\((\cfrac{1}{2}，\cfrac{1}{4}+ln2)\)到已知直線\(4x+4y+1=0\)的距離就是所要求解的距離。

故所求距離\(d=\cfrac{|4\times \cfrac{1}{2}+4\times(\cfrac{1}{4}+ln2)+1|}{\sqrt{4^2+4^2}}=\cfrac{\sqrt{2}}{2}(1+ln2)\)

• 類型2：兩曲線一直線的公切線型

思路方法：轉化為一曲線和一直線型；或者利用同一法求解

例8 (2017•濰坊模擬)若存在過點\((1，0)\)的直線與曲線\(y＝x^3\)和\(y＝ax^2+\cfrac{15}{4}x-9\)都相切，則\(a\)等於【 】

$A.-1或-\cfrac{25}{64}$ $B.-1或-\cfrac{21}{4}$ $C.-\cfrac{7}{4}或-\cfrac{25}{64}$ $D.-\cfrac{7}{4}或7$

分析：本題目屬於公切線問題，可以先求得過點\((1，0)\)處的與\(y=x^3\)相切的直線，然后聯立該直線和拋物線(二次函數)，利用\(\Delta=0\)來保證另一個相切的成立。

解析：設過點\((1，0)\)的直線與曲線\(y＝x^3\)相切於點\((x_0，y_0)\)，由\(f'(x)=3x^2\)可得，

\(\begin{cases}k=f'(x_0)=3x_0^2\\y_0=x_0^3\\y-y_0=f'(x_0)(x-x_0)\end{cases}\)，又點\((1，0)\)在切線上，故有\(0-x_0^3=3x_0^2(1-x_0)\)，

解得\(x_0=0\)或\(x_0=\cfrac{3}{2}\)；

當\(x_0=0\)時，\(y_0=0\)，即切點是\((0，0)\)，斜率\(k=0\)，故切線方程為\(y=0\)，

與曲線\(y=ax^2+\cfrac{15}{4}x-9\)相切，消\(y\)得到\(ax^2+\cfrac{15}{4}x-9=0\)，

利用\(\Delta=(\cfrac{15}{4})^2+4\times 9a=0\)，解得\(a=-\cfrac{25}{64}\)；

當\(x_0=\cfrac{3}{2}\)時，\(y_0=\cfrac{27}{8}\)，即切點是\((\cfrac{3}{2}，\cfrac{27}{8})\)，斜率\(k=\cfrac{27}{4}\)，

故切線方程為\(y-\cfrac{27}{8}=\cfrac{27}{4}(x-\cfrac{3}{2})\)，

與曲線\(y=ax^2+\cfrac{15}{4}x-9\)相切，消\(y\)得到\(ax^2-3x-\cfrac{9}{4}=0\)，

利用\(\Delta=(-3)^2-4\times a\times(-\cfrac{9}{4})=0\)，解得\(a=-1\)；

綜上，\(a=-1\)或\(-\cfrac{25}{64}\)，故選A。

反思總結：直線與三次曲線的相切問題，我們用導數解決；直線與二次曲線(如圓、橢圓、雙曲線、拋物線等)的相切問題，我們常用\(\Delta=0\)來解決，相對運算能快一些。