在线|二轮辅导[03][函数与导数01]

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思维导图

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典例剖析

微专题1 对函数图像的使用训练[识图用图意识]

用导函数的图像判断原函数的单调性

复合函数的求导运算

例1 ①设\(f(x)=sin(2x+1)\)，求导函数\(f'(x)\)；

分析：我们目前一般只涉及一次复合的函数如\(y=f(u)\)和\(u=g(x)\)，

则复合函数为\(y=f[g(x)]\)，\([f(g(x))]'=f'[g(x)]\cdot g'(x)\)；

令\(\phi=2x+1\)，则\(y=f(x)=sin\phi\)，故\(f'(x)=y'_x=y'_{\phi}\cdot \phi'_x=cos\phi\cdot 2=2cos(2x+1)\)；

②设\(g(x)=ln(x^2+3x)\)，求导函数\(g'(x)\)；

分析：\(g'(x)=\cfrac{1}{x^2+3x}\cdot (x^2+3x)'=\cfrac{2x+3}{x^2+3x}\)；

说明：函数\(f(x)=x^2\pm lnx\)，不是复合函数，只是两个函数\(y=x^2\)与函数\(y=lnx\)之间用四则运算构成的一个新函数。

③[抽象复合函数的求导]设\(g(x)=x\cdot f(2x)\)，求\(g'(x)\)

分析：\(g'(x)=[x\cdot f(2x)]'=x'\cdot f(2x)+x\cdot f'(2x)\cdot (2x)'=f(2x)+2x\cdot f'(2x)\)

• 注意：复合函数求导时的运算，如对\(y=ln(\cfrac{1+x}{1-x})\)直接求导，不如变形为\(y=ln(1+x)-ln(1-x)\)后求导；

练习 若\(f(x)=e^{-x}\)，则\(f'(x)=-e^{-x}\)；若\(f(x)=e^{2x}\)，则\(f'(x)=2e^{2x}\)；

若\(f(x)=cos(2x+\cfrac{\pi}{3})\)，则\(f'(x)=-2sin(2x+\cfrac{\pi}{3})\)；

若已知\(f(2x+3)\)，则\([f(2x+3)]'=2f'(2x+3)\)；

题型Ⅰ 求曲线\(f(x，y)=0\)或函数\(y=f(x)\)的切线

• 类型1：一曲线一直线的单切线形

思路方法：若是在点处，利用点斜式写出切线方程：\(y-f(x_0)=f'(x_0)(x-x_0)\)；若是过点处，则设切点\((x_0，y_0)\)，然后利用方程组求切点，再代入计算切线即可。

例2 【在点处】【2017全国卷1文科第14题高考真题】曲线\(y=x^2+\frac{1}{x}\)在点\((1，2)\)处的切线方程是__________。

分析：利用点斜式来求解，

其中斜率\(k=f'(x)_{|x=1}=(2x-\cfrac{1}{x^2})_{|x=1}=1\)，切点是\((1，2)\)，

故切线方程为\(y-2=1(x-1)\)，整理为\(y=x+1\)。

例3 【过点处】：求曲线\(C:y=\cfrac{1}{3}x^3+\cfrac{4}{3}\)经过点\(P(2，4)\)的切线方程；（\(4x-y-4=0\)或\(x-y+2=0\)）

分析：设经过点\(P(2，4)\)的切线方程与曲线相切于点\(P_0(x_0，y_0)\)，则有

\(\begin{cases}y_0=\cfrac{1}{3}x_0^3+\cfrac{4}{3}\\ k=f'(x_0)=x_0^2\\ y-y_0=f'(x_0)(x-x_0) \end{cases}\)

又因为点\(P(2，4)\)在切线方程上，则有\(4-(\cfrac{1}{3}x_0^3+\cfrac{4}{3})=x_0^2(2-x_0)\)

整理得到，\(x_0^3-3x_0^2+4=0\)

\(x_0^3-3x_0^2+4=(x_0^3+1)-3(x_0^2-1)\)

\(=(x_0+1)(x_0^2-x_0+1)-3(x_0+1)(x_0-1)\)

\(=(x_0+1)(x_0^2-x_0+1-3x_0+3)\)

\(=(x_0+1)(x_0-2)^2=0\)；

即\((x_0+1)(x_0-2)^2=0\)，解得\(x_0=-1\)，或\(x_0=2\)

当\(x_0=-1\)时，切点为\((-1，1)\)，\(k_1=1\)，切线方程为\(x-y+2=0\)；

当\(x_0=2\)时，切点为\((2，4)\)，\(k_2=4\)，切线方程为\(4x-y-4=0\)；

注意：常用的变形方法有试商法、分组分解法、多项式除法；

例4 【需要作为求解模型来看待和使用】函数\(y=kx\)与函数\(y=lnx\)相切于点\(Q\)，求点\(Q\)的坐标。\((e，1)\)

分析：设函数\(y=kx\)与函数\(y=lnx\)切点为\(Q(x_0,y_0)\)，则有

\(\begin{cases} y_0=kx_0 \\ y_0=lnx_0 \\ k=f'(x_0)=\cfrac{1}{x_0}\end{cases}\)；

从而解得\(x_0=e,y_0=1,k=\cfrac{1}{e}\)，故切点\(Q\)的坐标为\((e，1)\)

例5 直线\(y=x\)上的动点为\(P\)，函数\(y=lnx\)上的动点是\(Q\)，求\(|PQ|\)的最小值。

思路：平行线法，设和直线\(y=x\)平行且和函数\(y=lnx\)相切的直线为\(y=x+m\)，

切点为\(P_0(x_0,y_0)\)，则有\(\begin{cases} y_0=x_{0}+ m \\ y_0=lnx_0 \\ f'(x_0)=\cfrac{1}{x_0}=1\end{cases}\)；

从而解得\(x_0=1,y_0=0,m=-1\)所以所求的点点距的最小值，就转化为切点\(P_0(1,0)\)到直线\(y=x\)的点线距，

或者两条直线\(y=x,y=x-1\)的线线距了。

解后反思：此题目可以引申为曲线上的点到直线上的点的最小值，使用平行线法。比如：

题目1：直线\(y=x\)上的动点为\(P\)，函数\(y=lnx\)上的动点是\(Q\)，求\(|PQ|\)的最小值。

题目2：直线\(y=x\)上的点为\(P(x，y)\)，函数\(y=lnx\)上的点是\(Q(m，n)\)，求\(\sqrt{(x-m)^2+(y-n)^2}\)的最小值。

例6 【2017凤翔中学高三理科第二次月考第12题】将函数\(y=lnx\)的图像绕坐标原点\(O\)逆时针旋转角\(\theta\)后第一次与\(y\)轴相切，则角\(\theta\)满足的条件是【】

$A.sin\theta=ecos\theta$ $B.esin\theta=cos\theta$ $C.esin\theta=1$ $D.ecos\theta=1$

分析：先仿上例3先求得过坐标原点与\(y=lnx\)相切的直线是\(y=\cfrac{1}{e}x\)，切点是\((e，1)\)，

设切线的倾斜角是\(\phi\)，则\(tan\phi=\cfrac{1}{e}\)，若切线绕坐标原点旋转角\(\theta\)后切线变成了\(y\)轴，

由\(cot\theta=tan\phi=\cfrac{1}{e}\)可得， \(\cfrac{cos\theta}{sin\theta}=\cfrac{1}{e}\)，即\(sin\theta=ecos\theta\)，故选\(A\)。

例7 【2016•福州模拟】点\(P\)是曲线\(x^2－y－2ln\sqrt{x}＝0\)上任意一点，则点\(P\)到直线\(4x＋4y＋1＝0\)的最小距离是【 】

$A.\cfrac{\sqrt{2}}{2}(1-ln2)$ $B.\cfrac{\sqrt{2}}{2}(1+ln2)$ $C.\cfrac{\sqrt{2}}{2}(\cfrac{1}{2}+ln2)$ $D.\cfrac{1}{2}(1+ln2)$

分析：当在曲线上试图寻找一点，让它到直线的距离最小，思考不便于展开时，不妨换位思考，让直线平行移动到和曲线相切得到一个切点，那么所求距离就是切点到直线的点线距，或者是两条平行线之间的线线距。

解析：将函数化简整理为\(y=f(x)=x^2-lnx(x>0)\)，

再设与已知直线平行的且与曲线相切的直线为\(4x+4y+c=0\)，

切点为\((x_0，y_0)\)，则由\(f'(x)=2x-\cfrac{1}{x}\)，

得到\(\begin{cases}k=f'(x_0)=2x_0-\cfrac{1}{x_0}=-1①\\4x_0+4y_0+c=0②\\y_0=x_0^2-lnx_0③\end{cases}\)，

解①得到\(x_0=-1(舍去)\)或\(x_0=\cfrac{1}{2}\)，代入③得到\(y_0=\cfrac{1}{4}+ln2\)，

故切点\((\cfrac{1}{2}，\cfrac{1}{4}+ln2)\)到已知直线\(4x+4y+1=0\)的距离就是所要求解的距离。

故所求距离\(d=\cfrac{|4\times \cfrac{1}{2}+4\times(\cfrac{1}{4}+ln2)+1|}{\sqrt{4^2+4^2}}=\cfrac{\sqrt{2}}{2}(1+ln2)\)

• 类型2：两曲线一直线的公切线型

思路方法：转化为一曲线和一直线型；或者利用同一法求解

例8 (2017•潍坊模拟)若存在过点\((1，0)\)的直线与曲线\(y＝x^3\)和\(y＝ax^2+\cfrac{15}{4}x-9\)都相切，则\(a\)等于【 】

$A.-1或-\cfrac{25}{64}$ $B.-1或-\cfrac{21}{4}$ $C.-\cfrac{7}{4}或-\cfrac{25}{64}$ $D.-\cfrac{7}{4}或7$

分析：本题目属于公切线问题，可以先求得过点\((1，0)\)处的与\(y=x^3\)相切的直线，然后联立该直线和抛物线(二次函数)，利用\(\Delta=0\)来保证另一个相切的成立。

解析：设过点\((1，0)\)的直线与曲线\(y＝x^3\)相切于点\((x_0，y_0)\)，由\(f'(x)=3x^2\)可得，

\(\begin{cases}k=f'(x_0)=3x_0^2\\y_0=x_0^3\\y-y_0=f'(x_0)(x-x_0)\end{cases}\)，又点\((1，0)\)在切线上，故有\(0-x_0^3=3x_0^2(1-x_0)\)，

解得\(x_0=0\)或\(x_0=\cfrac{3}{2}\)；

当\(x_0=0\)时，\(y_0=0\)，即切点是\((0，0)\)，斜率\(k=0\)，故切线方程为\(y=0\)，

与曲线\(y=ax^2+\cfrac{15}{4}x-9\)相切，消\(y\)得到\(ax^2+\cfrac{15}{4}x-9=0\)，

利用\(\Delta=(\cfrac{15}{4})^2+4\times 9a=0\)，解得\(a=-\cfrac{25}{64}\)；

当\(x_0=\cfrac{3}{2}\)时，\(y_0=\cfrac{27}{8}\)，即切点是\((\cfrac{3}{2}，\cfrac{27}{8})\)，斜率\(k=\cfrac{27}{4}\)，

故切线方程为\(y-\cfrac{27}{8}=\cfrac{27}{4}(x-\cfrac{3}{2})\)，

与曲线\(y=ax^2+\cfrac{15}{4}x-9\)相切，消\(y\)得到\(ax^2-3x-\cfrac{9}{4}=0\)，

利用\(\Delta=(-3)^2-4\times a\times(-\cfrac{9}{4})=0\)，解得\(a=-1\)；

综上，\(a=-1\)或\(-\cfrac{25}{64}\)，故选A。

反思总结：直线与三次曲线的相切问题，我们用导数解决；直线与二次曲线(如圆、椭圆、双曲线、抛物线等)的相切问题，我们常用\(\Delta=0\)来解决，相对运算能快一些。