基礎
貝塞爾函數(Bessel Function)，是數學上的一類特殊函數的總稱，是貝塞爾方程的解（無法用初等函數系統表示），它們和其他函數組合成柱調和函數。除初等函數外，在物理和工程中貝塞爾函數是最常用的函數，它們以19世紀德國天文學家F.W.貝塞爾的姓氏命名，他在1824年第一次描述過它們。
一般貝塞爾函數是下列常微分方程（一般稱為貝塞爾方程）的標准解函數 \(y\left( x \right)\)：
\({x^2}\frac{{{d^2}y}}{{d{x^2}}} + x\frac{{dy}}{{dx}} + \left( {{x^2} - {\alpha ^2}} \right)y = 0\)
或者 \({x^2}y'' + xy' + \left( {{x^2} - {\alpha ^2}} \right)y = 0\)
作為一個二階常微分方程，上述函數必然存在兩個線性無關的解。並且，貝塞爾函數是在柱坐標/球坐標下使用分離變量法求解拉普拉斯方程或者亥姆霍茲方程式得到，因此貝塞爾函數在波動問題以及各種涉及有勢場的問題中占有重要問題。
貝塞爾函數的具體形式隨着方程中實數參數 \(\alpha\) 變化，且 \(\alpha\) 被稱為貝塞爾函數的階數。實際應用中常見 \(\alpha\) 為整數 \(n\) ，對應 \(n\) 階貝塞爾函數。雖然公式中 \(\alpha\) 的正負性不改變函數形式，實際應用中習慣針對 \(\alpha\) 和 \(-\alpha\) 定義兩種不同的貝塞爾函數，有一些好處（比如消除函數在 \(\alpha=0\) 處的不光滑性），多 \(\alpha\ge 0\)。
貝塞爾函數的求解可以參考知乎文章。