貝塞爾函數
1、貝塞爾方程及解
v階貝塞爾方程：
\[x^{2} \frac{d^{2} y}{d x^{2}}+x \frac{d y}{d x}+\left(x^{2}-v^{2}\right) y=0 \]
半奇數階（l+\(\frac{1}{2}\)）貝塞爾方程：
\[x^{2} \frac{d^{2} y}{d x^{2}}+x \frac{d y}{d x}+\left[x^{2}-\left(l+\frac{1}{2}\right)^{2}\right] y=0 \]
v階貝塞爾方程的解：
- 第一類貝塞爾函數\(J_v(x)=J_n(x)\)
\[J_{\pm n}(x)=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{m}}{m ! \Gamma(\pm n+m+1)}\left(\frac{x}{2}\right)^{2 m \pm n} \]
注：2n不為整數時，n=v，\(J_v(x)\) 和 \(J_{-v}(x)\) 線性無關
- 第二類貝塞爾函數（諾伊曼函數）\(Y_v(x)=N_v(x)\)
\[Y_{v}(x)=\left\{\begin{array}{ll} \frac{J_v(x) \cos v \pi-J_{-v}(x)}{\sin v \pi} & (v \neq n) \\ \lim _{v \rightarrow \infty} \frac{J_v(x) \cos v \pi-J_{-v}(x)}{\sin v \pi} & (v=n) \end{array}\right. \]
\(J_{v}(x)\)和\(Y_{v}(x)\)線性無關，則v階貝塞爾方程的通解為：\(y=C_{1} J_{v}(x)+C_{2} Y_{v}(x)\)
- 第三類貝塞爾函數（漢克爾函數）\(H_v^{(1)}(x)\) 和 \(H_v^{(2)}(x)\)
\[\left\{\begin{aligned}H_v^{(1)}(x)=J_v(x)+iN_v(x)\\ H_v^{(2)}(x)=J_v(x)-iN_v(x)\end{aligned}\right. \]
2、貝塞爾函數的母函數
貝塞爾函數的母函數：
\[e^{\frac{x}{2}\left(z-\frac{1}{z}\right)}=\sum_{n=-\infty}^{\infty} J_{n}(x) z^{n} \]
貝塞爾函數的遞推公式：
\[\begin{array}{l} \frac{d}{d x}\left[x^{v} J_{v}(x)\right]=x^{v} J_{v-1}(x) \\\\ \frac{d}{d x}\left[x^{-v} J_{v}(x)\right]=-x^{-v} J_{v+1}(x) \\\\ v J_{v}(x)+x J_{v}^{\prime}(x)=x J_{v-1}(x) \\\\ -v J_{v}(x)+x J_{v}^{\prime}(x)=-x J_{v+1}(x) \\\\ J_{v-1}(x)+J_{v+1}(x)=\frac{2 v}{x} J_{v}(x) \\\\ J_{v-1}(x)-J_{v-1}(x)=2 J_{v}^{\prime}(x) \end{array} \]
特例：\(J_0^{\prime}(x)=-J_1(x)\quad\left[x J_1(x)\right]^{\prime}=x J_0(x)\)
注：任意整數階貝塞爾函數都可以用\(J_0(x)\)和\(J_1(x)\)表示
例題：求不定積分\(\int x J_{2}(x) d x\)
解：
\[J_{v-1}(x)+J_{v+1}(x)=\frac{2 v}{x} J_{v}(x)\\\\\ \text{故}\quad J_{2}(x)=\frac{2}{x} J_{1}(x)-J_{0}(x) \\\\ x J_{2}(x)=2 J_{1}(x)-x J_{0}(x) \\\\ \int x J_{2}(x)=2 \int J_{1}(x) d x-\int x J_{0}(x) d x=-2 J_{0}(x)-x J_{1}(x)+C \]
3、貝塞爾函數的性質
貝塞爾函數的性質：
1）有界性 :\(\left|J_n(x)\right|\leq+\infty\)
2）奇偶性：\(J_n(-x)=(-1)^nJ_n(x)\)
貝塞爾函數零點的性質：
1）有無窮多個對稱分布的零點
2）\(J_n(x)\)和\(J_{n+1}(x)\)的零點相間分布
3）\(J_n(x)\)的零點趨於周期分布
半奇數階貝塞爾函數的特例：
\[J_{\frac{1}{2}}(x)=\sqrt{\frac{2}{\pi x}}sinx\\\\ J_{\frac{-1}{2}}(x)=\sqrt{\frac{2}{\pi x}}cosx \]
例題：利用遞推公式證明\(J_{\frac{3}{2}}(x)=\sqrt{\frac{2}{\pi x}}\left[\frac{1}{x}sinx-cosx\right]\)
解：
\[J_{v-1}(x)+J_{v+1}(x)=\frac{2 v}{x} J_{v}(x)\\\\ \text{取}v=\frac{1}{2}\text{得:}\quad J_{-\frac{1}{2}}(x)+J_{\frac{3}{2}}(x)=\frac{1}{x} J_{\frac{1}{2}}(x)\\\\ \text{故}\quad J_{\frac{3}{2}}(x)=\frac{1}{x} J_{\frac{1}{2}}(x)-J_{-\frac{1}{2}}(x)\\\\ \text{代入半奇數階貝塞爾函數的值，得:}\\\\\quad J_{\frac{3}{2}}(x)=\sqrt{\frac{2}{\pi x}}\left[\frac{1}{x}sinx-cosx\right] \]
整理人：劉蓓
審核：輔助線數學公益平台