系統的廣義坐標 / 廣義速度
對於 \(s\) 個自由度的系統，可以完全刻畫其位置的任意 \(s\) 個變量 \(q_1, q_2, \cdots , q_s\) 稱為該系統的廣義坐標。其導數 \(\dot q_i\) 則稱為廣義速度。
最小作用量原理
每一個系統都可以用一個確定函數
\[L(q_1, q_2, \cdots, q_s, \dot q_1, \dot q_2, \cdots, \dot q_s, t) \]
來表征。簡寫為 \(L(q, \dot q, t)\) 。
已知系統在時刻 \(t = t_1\) 和 \(t = t_2\) 的位置分別為 \(q^{(1)}\) 和 \(q^{(2)}\) 。那么，系統在 \(t_1\) 和 \(t_2\) 時刻的運動一定使得積分
\[S = \int^{t_2}_{t_1} L(q, \dot q, t) dt \]
取最小值，即為最小作用量原理。
上述積分稱之為 作用量；函數 \(L\) 稱之為給定系統的 拉格朗日函數。
由最小作用量原理推導給定系統的運動方程
加速度與坐標、速度的關系稱之為運動方程。
積分（或者說作用量）取最小值，那么泛函 \(S\) 的變分為零，即
\[\delta S = \delta \int^{(t_1)}_{(t_2)} L(q, \dot q, t) dt = 0 \]
進一步推導得：
\[\delta S = \int^{(t_1)}_{(t_2)} (\frac{\partial L}{\partial q} \delta q + \frac{\partial L}{\partial \dot q} \delta \dot q) dt = 0 \]
由於 \(\delta \dot q = \frac{d}{dt} (\delta q)\)，可得
\[\delta S = \int^{(t_1)}_{(t_2)} (\frac{\partial L}{\partial q} \delta q + \frac{\partial L}{\partial \dot q} \frac{d}{dt} (\delta q)) dt = \int^{(t_1)}_{(t_2)} \frac{\partial L}{\partial q} \delta q dt + \int^{(t_1)}_{(t_2)} \frac{\partial L}{\partial \dot q} \frac{d}{dt} (\delta q) dt = 0 \]
將積分分成兩個部分后，進一步推導后一部分的積分。由 \(dAB = AdB + BdA\) 可得 \(AdB = dAB - BdA\)，則上述積分進一步推導為
\[\delta S = \int^{(t_1)}_{(t_2)} \frac{\partial L}{\partial q} \delta q dt + \int^{(t_1)}_{(t_2)} [\frac{d}{dt} (\frac{\partial L}{\partial \dot q} \delta q) - \delta q \frac{d}{dt} (\frac{\partial L}{\partial \dot q})] dt = 0 \]
進一步計算積分，為
\[\delta S = \int^{(t_1)}_{(t_2)} \frac{\partial L}{\partial q} \delta q dt + \frac{\partial L}{\partial \dot q} \delta q|^{t_2}_{t_1} - \int^{(t_1)}_{(t_2)} \delta q \frac{d}{dt} (\frac{\partial L}{\partial \dot q}) dt = 0 \]
由於，\(t_1\) 和 \(t_2\) 處的位置已經給定，故其變分 \(\delta q\) 為零，則上述第二項為零。泛函變分 \(\delta S\) 計算為
\[\delta S = \int^{(t_1)}_{(t_2)} \frac{\partial L}{\partial q} \delta q dt - \int^{(t_1)}_{(t_2)} \delta q \frac{d}{dt} (\frac{\partial L}{\partial \dot q}) dt = \int^{(t_1)}_{(t_2)} [\frac{\partial L}{\partial q} - \frac{d}{dt} (\frac{\partial L}{\partial \dot q})] \delta q dt = 0 \]
上述積分在 \(\delta q\) 任意取值時都應該等於零。所以，必然需要
\[\frac{\partial L}{\partial q} - \frac{d}{dt} (\frac{\partial L}{\partial \dot q}) = 0 \]
即
\[\frac{d}{dt} (\frac{\partial L}{\partial \dot q}) - \frac{\partial L}{\partial q} = 0 \]
這個就是系統在 \(t_1\) 時刻到 \(t_2\) 時刻的運動微分方程，在力學中成為 拉格朗日方程。