Euler’s Formula 關於歐拉公式的理解
1 前言（廢話）
在看一些雷達相關的論文，從復信號開始迷糊，一連串的迷糊下來，迷糊到了歐拉公式。看到了BetterExplained的文章Intuitive Understanding Of Euler’s Formula解釋的好妙啊！！作為一個孤陋寡聞的數學渣，俺被刷新了認知，一邊看一邊感嘆，竟然覺得好有意思...真是這輩子少有的體驗哈哈。
一開始想翻譯來着，查了一下未經授權翻譯是侵權。所以，在此復述一些我覺得比較重要的觀點，分享一下哈，這應該不算侵權吧（查不到復述外文主要觀點算不算侵權，如果算，希望可以提醒一下哈）。不過，還是推薦看原文，講的很全面。
PS：不知為何好像不支持HTML標簽設置居中了，以前的圖片顯示不了，重新上了圖，居中不了，排版不爽請見諒。2020.07.04
2 預備知識
在理解歐拉公式之前，我認為還需要對復數、指數增長有基本的理解。暫時沒有去搜索中文的文章，在此放上BetterExplained的文章的傳送門，可挑選部分關鍵的看（比如帶圖的部分）：
- 復數的理解：A Visual, Intuitive Guide to Imaginary Numbers
- 怎么理解虛數和復數？ - 李狗嗨的回答 - 知乎
- 指數函數及e的理解：An Intuitive Guide To Exponential Functions & e
搬運重要的結論：
- \(e\)的定義：
- 指數函數的理解：
在\(1\)的基礎長，以\(r\)的增長率，持續增長\(t\)的時間，最后總的增長量是\(e^{r\cdot t}\)。注意持續增長的理解，要與日常語境中的意義區分。
3 概述
歐拉公式：
$$e^{ix} = cos(x) + i sin(x) $$
歐拉公式描述了什么？作者如是說：
Euler's formula describes two equivalent ways to move in a circle.
歐拉公式使用了2種等價的方法（即等式的左邊和右邊），來描述在一個圓弧上的運動。就是說，它描述了旋轉運動。怎么理解呢？下文會分別對公式的左邊和右邊進行解釋。
PS：值得注意的是，公式中等號的意義。在數學中，等號存在一定的歧義，它可以表示：1. 賦值；2. 等價（這種歧義在高級語言中就不存在啦）。歐拉公式中等號的意義是后者。
4 對\(e^{ix}\)的理解
可以從以下幾個方面來理解：
- 整體來看，把 \(e^{ix}\) 看作 \(1\cdot e^{ix}\) ，把乘法看作一種變換，這個式子就可以理解為對\(1\)做\(e^{ix}\) 變換。
- 對於指數的理解：
- 先回到熟悉的實數 \(1\cdot e^{3}\)，對於這個式子，我們可以理解為在\(1\)的基礎上以\(r\)的增長率，\(t\)的時間持續增長，其中\(r\cdot t = 3\)。所以“實指數增長”我們可以理解為：在\(1\)的基礎上，以某個增長率，持續地增長某段時間。
- “虛指數增長”就可以理解為：讓\(1\)持續地旋轉某段時間。
- 增長\(x\)個單位時間，就可以理解為沿着圓弧運動\(x\)
- \(e^{ix}\)就可以理解為，從\(1\)開始，旋轉\(x\)弧度
以 \(x=\pi\) 時這個特殊情況為例。代入可得下式：
$$e^{i\pi} = -1 $$
對於式子\(e^{i\pi} = -1\)就可以理解為，從1開始，旋轉\(\pi\)得到-1
* “虛指數增長”
先從實數開始考察，以 \(3^{4}\) 為例:
- 換一種方式來看底數 3：\(3 = e^{ln(3)}\)，即把3看作以\(ln(3)\)的增長率持續增長的結果（在1的基礎上，增長1個單位時間）
- 那么\(3^{4}\) ，就可以看作以相同的增長率\(ln(3)\)持續性地增長4倍長的時間
- 實指數的增長，即在原來的基礎上，在“實”方向（與原方向同向）上拉長。
回到“虛“指數增長，則是在“虛”方向（與原始方向垂直的方向）旋轉，且僅僅是旋轉。
5 對\(cos(x) + i sin(x)\)的理解
對於等式右邊，典型的復數，對復數稍微有一些了解就非常容易理解。
暫不贅述了。
圖源：BetterExplained
6 結語
沒有完全照搬原文的結構，按照自己的理解重新梳理了一下，若有錯誤或者不恰當的地方，請批評指正。